3.7 扭转杆件的应变能和能量方法

同第 2 章轴向拉压杆件一样，外加的扭矩做功将全部转化为扭转变形的应变能，根据这一原理可以建立计算变形的能量方法。

如图3-13（a）所示的等直圆轴，左端固定，右端承受由0缓慢增加的外力偶Me，圆轴在线弹性范围内发生扭转，设截面B相对截面A的转角为ϕ，外力偶Me与转角ϕ的关系为如图3-13（b）所示的直线，则外力偶Me所做的功为

根据外力做功等于应变能，扭转圆轴的应变能为

其中内力扭矩T = Me。利用式（3-20），得

如果结构由n个不同的扭矩为常值的均匀等截面圆轴组成，则整个结构的应变能可以分段利用上述公式叠加得到，即

若杆件的扭矩T、模量G和/或横截面面积IP沿轴向变化，则应变能由下式计算：

应变能还可以通过先求出应变能密度再积分确定。下面介绍扭转杆件应变能密度的计算。

取如图3-14所示的单元体，使其垂直于x轴的两个面平行于圆轴的横截面，于是该单元体处于纯剪切应力状态。设其左侧面固定，则单元体在切应力τ 作用下的变形如图3-14所示，于是在线弹性范围内单元体上切应力τ 所做的功为

由于单元体内所积蓄的应变能dVε数值上等于dW，于是，可得单位体积内的应变能即应变能密度vε为

利用剪切胡克定律τ=Gγ，上式可改写为

等直圆杆扭转时的应变能Vε可由vε积分得到，即

式中，V为杆件的体积，A为杆件的横截面面积，l为杆长。将式（3-12）代入式（3-32）即得式（3-26）。请读者自行验证。

利用外力做功等于应变能这一能量守恒原理，可以计算变形。下面通过例题加以说明。

如例题图3-12所示材料相同的阶梯圆轴，剪切模量G已知。试利用能量法计算AB两截面间的相对扭转角。

解：首先求出两段圆轴内的总应变能，即

根据外力做功等于应变能，得

将式（a）代入式（b），得

讨论：请读者思考如何参照第2章2.8节的内容，建立求解等直扭转圆轴任意截面扭转角的能量方法（单位载荷法），并计算该例题中截面C相对截面A的转角。