第4章 刚体的运动

刚体的运动包括刚体的平移、定轴转动、平面运动、定点运动和一般运动。其中，刚体的平移和定轴转动是刚体的最基本运动，其他的刚体运动可以看成刚体的基本运动以不同方式合成的复合运动。

4.1 刚体的一般运动

不受限制的刚体称为自由刚体。自由刚体在空间中的运动称为刚体的一般运动。如卫星、导弹、飞机等在空间的运动都是刚体的一般运动。

基本定理 对于矢量A，使A·B=0的充要条件是：存在矢量Ω，使

B=Ω ×A

证明：必要性。设A·B=0，即A⊥B，

令C=A×B，则C×A与B 平行，因此存在实数α，使

B=αC ×A

令Ω=αC，即得

B=Ω ×A

充分性。设存在矢量Ω，使B=Ω ×A，显然

A·B=A·（Ω ×A）=0

证毕。

如图4-1所示的刚体，对其中的任意两点A和B，有

式（4-1）两边对时间求导，得

式（4-3）表明，刚体上任意两点的速度沿两点连线上的投影相等，如图4-1所示。式（4-3）称为刚体的速度投影定理。

由式（4-2）和基本定理可知，存在矢量ω，使

不难证明，当已知刚体上不共线的三点A、B、C的速度vA、vB、vC时，由

可唯—确定矢量ω，即

式中，v1=vB-vA，v2=vC-vA。不难证明，由式（4-6）确定的ω与不共线三点的选取无关。

设选取不共线的三点A、C、D的速度vA、vC、vD，由式（4-6）确定ωA；选取不共线的三点B、E、F的速度vB、vE、vF，由式（4-6）确定ωB，则对刚体上的任一点P，有

但

式（b）代入式（a），得

vA+ωA ×rAP=vA+ωA ×rAB+ωB ×rBP

即

由rBP的任意性，得

因此，ω是刚体运动的一个特征量。

由式（4-4）得

式（4-7）是刚体上两点间的速度关系，点A称为基点，式（4-7）称为基点法的速度公式。由图4-2可以看出，刚体上任一点的速度等于基点的速度与刚体绕过基点ω 方向的轴转动时该点速度的矢量和。ω 称为刚体的角速度，其大小和方向可以随时间变化。称过基点ω 方向的轴为刚体的瞬时转轴。

用dt乘以式（4-7）两边，则

显然，drB=vBdt，drA=vAdt，令，由图4-2可以看出，dφ为刚体在dt时间间隔内绕瞬时转轴转过的微小角度，称为刚体绕瞬时转轴的微小转角，式（4-8）可写成

式（4-9）表明，刚体的运动可以分解为随基点的平动和绕过基点的某轴的转动。

式（4-4）的另一种形式为

式（4-10）表明，固连于刚体上大小不变的一个运动矢量对时间的变化率等于刚体的角速度叉乘矢量本身。

式（4-7）两边对时间求导数，得

令，称为刚体的角加速度，其方向沿着ω=ω（t）的矢端曲线的切线方向。

式（4-11）为刚体两点间的加速度关系，称为基点法的加速度公式。令a R=α × rAB，a N=ω ×（ω ×rAB），分别称为该点的转动加速度和向轴加速度。由于ω、α 一般不共线，所以aR和aN一般不垂直，即一般不是绕基点瞬时转轴转动的切向加速度和法向加速度。

4.2 刚体的基本运动

刚体的平移和定轴转动称为刚体的基本运动。

为更方便研究刚体的运动，下面介绍自由度的概念。

确定系统空间位置的独立坐标的数目称为系统的自由度。这里所说的坐标可以是直角坐标，也可以是其他的几何参数，如角度、弧长等，称为广义坐标。

例4-1 确定图4-3所示机构的自由度。

解：图4-3（a）所示的平面曲柄连杆机构的自由度为1，因为角参数φ可以确定机构所处位置；图4-3（b）所示的椭圆摆的自由度为2，独立参数s和φ可以确定机构所处位置。

1.刚体的平移

刚体在运动过程中，有ω=0，这种运动称为刚体的平移或平动。

显然，刚体的角加速度 ，因此对刚体上的任意两点A、B，由式（4-7）、式（4-11）得

这说明平移刚体上各点在同一瞬时的速度和加速度都相同。由积分公式（4-12）第一个等式，得

式中，b为常矢量，大小等于点A、B间的距离。式（4-11）表明平移刚体上任意两点的运动轨迹经过平移可以重合，因此对平移刚体而言，其上任一点的运动就代表了整个刚体的运动，也就是说，平移刚体的运动归结为点的运动。平移刚体的自由度不超过3。

由式（4-13）得

这说明平移刚体上任一线段的方向不随时间变化，这是平移刚体的重要性质，可作为刚体是否平移的直观判据。

刚体平移不限于直线平移，也可以是曲线平移（圆弧平移是曲线平移的特殊情况）。

2.刚体的定轴转动

刚体在运动过程中，若其内部或延伸部分始终存在着一根固定不动的直线，则称刚体的这种运动为定轴转动，固定不动的直线称为刚体的转轴。

如图4-4所示的定轴转动刚体。建立固定坐标系Oxyz，Oz轴为转动轴。在Oz轴上任取两点A和B，则由式（4-7）得

vB-vA=ω ×rAB=0

即ω∥rAB，令

ω =ωk

则

其中表示角加速度的大小。

对刚体上的任一点M，它在与转轴垂直的一个平面内做圆周运动。取一基准线段O1M0平行于x轴，在任一时刻O1M与基准线的夹角φ称为刚体的转动角，其正负号由右手螺旋法则确定，如图4-4所示。

dφ =dφ k=ω dt=ωdtk

由此，得

以原点O为基点，点M的速度和加速度分别为

式中，an=ω ×v、at=α ×r分别标为点M的法向加速度和切向加速度。

转动角φ可以确定定轴转动刚体空间位置，因此刚体的自由度为1。定轴转动刚体的转动方程为

例4-2 如图4-5所示，某瞬时大齿轮的角速度ω1和角加速度α1绕定轴O1转动，并与绕定轴O2转动的齿轮相互啮合。设两齿轮的节圆半径分别为r1和r2，求小齿轮的角速度和角加速度，并求两轮啮合点的速度和加速度。

解：两啮合齿轮转动时，在啮合点无相对滑动，因此在啮合点两齿轮有相同的速度，即

或

式（2）两边对时间求导，得

显然

这说明两啮合齿轮的角速度、角加度之比与它们的节圆半径成反比。

4.3 刚体的平面运动

若刚体上任一点的速度始终平行于一个固定平面，则称刚体的这种运动为刚体的平面运动。

1.平面运动刚体上两点速度和加速度关系及运动方程

以平行于固定平面的平面截刚体，得一平面图形S，如图4-6所示，则图形S上任一点的速度都在图形S平面内。

在运动图形所在的平面上建立固定坐标为Oxy。在图形S上取基点O′，建立平移坐标系O′x′y′，两坐标系对应轴相互平行，如图4-6所示。对图形S上的任一点M。

由于vM、vO′、rO′M都在图形S内，所以角速度ω 一定垂直图形S，令

由式（4-7）和式（4-20）可知，垂直于图形S的直线上的点具有相同的速度，并且轨迹完全一样，因此图形S的运动完全代表了刚体的运动。

对式（4-20）关于时间求导，得

类似于刚体的定轴转动，O′M与x′轴的夹角φ称为刚体平面运动的转动角，如图4-6所示。其正负号由右手螺旋法则确定。

dφ =dφ k′=ω dt=ωdtk′

由此，得

点M的速度和加速度分别为

在平移坐标求O′x′y′下，点M相对于原点O′做圆周运动。令

其中

式中，vMO′表示点M相对于点O′的速度；aMO′表示点M 相对于点O′的加速度，分别为aMO′的切向分量与法向分量。它们的大小分别为

这样，式（4-20）、式（4-24）可记为

式（4-32）、式（4-33）说明，刚体的平面运动可以分解为随基点O′的平移和绕过基点O′并垂直于运动平面的轴的转动。

不难看出，平面运动刚体的自由度为3。确定基点O′需要两个独立坐标xO′、yO′，而确定刚体相对平移坐标O′x′y′的位置只需要一个刚体的转角φ，因此xO′、yO′和φ三个独立坐标完全确定平面运动刚体所处位置。平面运动刚体的运动方程可表示为

当φ=常数时，刚体做平面平移；当xO′=常数、yO′=常数时，刚体做定轴转动。

例4-3 如图4-7所示曲柄连杆机构，曲柄OA以θ=ωt的规律做定轴转动，ω是常数，试写出连杆AB的运动方程。已知OA=r，AB=l。

解：连杆AB做平面运动，取点A为基点，建立固定坐标系Oxy和平移坐标系Ax′y′，如图4-7所示。

杆AB的运动方程为

2.速度瞬心

基点法的速度公式中，基点是可以任意选取的，如果刚体内或其延伸部分上存在瞬时速度为零的点，以此点为基点，则基点法的速度公式会得到简化。下面就来找这一点。

设点P的瞬时速度为零，以点O′为基点，则

vP=vO′+ω ×rO′P=0

上式两边左叉乘ω，注意到

ω ⊥rO′P

ω ×（ω ×rO′P）=（ω ·rO′P）ω-（ω ·ω）rO′P=-ω2rO′P

得

ω ×vO′-ω2rO′P=0

当ω≠0时，

因此，当ω≠0时，瞬时速度为零的点是存在的，它在基点O′的速度的垂线上，距点O′为|rO′P|=。称点P为瞬时速度中心，简称速度瞬心。当ω=0，刚体瞬时平移，其速度瞬心在无穷远处。

以速度瞬心P为基点，则平面图形任一点M的速度为

上式与定轴转动刚体上任意点的速度公式有相同形式，即平面图形上的任一点的速度等于平面图形以角速度ω绕过速度瞬心垂直平面图形的轴转动时该点的速度。以速度瞬心为基点求平面图形上任一点速度的方法，称为速度瞬心法。

下面介绍几种确定速度瞬心的方法。

（1）已知图形上两点A、B的速度方向，若vA、vB互不平行，则速度瞬心必在过两点速度垂线的交点上，如图4-8（a）所示；若vA∥vB，则有两种情况：①当速度垂线平行时，速度瞬心在无穷远处，刚体为瞬时平移，如图4-8（b）所示；②当速度垂线重合时，则速度瞬心必在速度矢端的连线与速度垂线的交点上（vA≠vB），如图4-8（c）、（d）所示；此交点可以在无穷远处（vA=vB），此时刚体为瞬时平移，如图4-8（e）所示。

（2）当平面图形沿某固定曲线做纯滚动时，因接触点无相对滑动，速度为零，接触点就是速度瞬心，如图4-8（f）所示。

（3）当已知图形上一点A的速度v A及角速度ω 时，将vA，沿ω 的转向转9 0°，再截取距离为的点。此点即是速度瞬心，如图4-8（g）所示。

应该指出的是，速度瞬心不是平面图形上的固定点，其位置随时间而变化，速度瞬心仅瞬时速度为零，而瞬时加速度一般并不为零。

例4-4 如图4-9所示曲柄滑块机构。曲柄OA以匀角速度ω转动，已知曲柄OA长为r，连杆AB长为l，当曲柄在任意位置φ=ωt时，试求滑块B的速度。

解法1：基点法

曲柄OA做定轴转动，连杆AB做平面运动。点A的速度为

设连杆AB的角速度为ω1，以点A为基点，则

式（2）是一个平面矢量方程，可以求解两个未知量。由几何关系得

如图4-9所示，把式（2）沿AB方向投影，得

其中ψ由式（3）确定。

把式（2）沿垂直方向投影，得

解法2：速度瞬心法

由于已知点A、B的速度方向，因此点P即为杆AB的速度瞬心。由几何关系，得

解法3：速度投影定理

由几何关系，得

由速度投影定理，得

解法4：点的运动学

建立坐标系Oxy，如图4-9所示，则

由几何关系，得

rsi nφ=lsi nψ

上式两边对时间求导，得

r φ cosφ=lψ cosψ ψ=r ω cos φl cos ψ

这是连杆AB的角速度，代入式（10），得

上式负号表示点B的速度方向与x轴方向相反。

例4-5 如图4-10所示的平面机构，已知杆O1A的角速度为ω1，杆O2B的角速度为ω2，O2B=r，，在图示瞬时，杆O1A处于铅垂位置，杆AC和O2B处于水平位置，而杆BC与铅垂线成30°夹角，试求该瞬时点C的速度。

解法1：基点法

系统为两自由度系统，点C的速度大小和方向都未知。

以点A的基点，考虑点C，

其中，上式有三个未知量，不能求解。为此，以点B为基点，考虑点C，

其中vB=rω2，上式也有三个未知量。由式（1）、（2）得

式（3）只有两个未知量，可以求解。只要求得vCA，则vC可方便求出。

把式（3）沿BC方向投影，得

如图4-11所示。

解法2：速度投影定理

设点C的速度v C与水平方向成θ角，如图4-10所示。对杆AC应用速度投影定理，得

同理，对杆BC应用速度投影定理，得

式（5）除以式（4），得

例4-6 如图4-12所示的平面四连杆机构。已知曲柄O1A以匀角速度ω1绕O1轴转动，O1A=r1，AB=l，O2B=r2，试求图示位置时，杆AB和O2B的角速度和角加速度。

解：杆O2B做定轴转动，设其角速度和角加速度分别为ω2和α2，杆AB做平面运动，设其角速度和角加速度分别为ω和α，如图4-12、图4-13所示。

（1）速度分析

以点A为基点，考虑点B，得

其中，vA=r1ω1。将式（1）沿O2B方向投影，得

将式（1）沿AB方向投影，得

（2）加速度分析

以点A为基点，考虑点B，得

aB=aA+aBA

由于杆O2B做定轴转动，上式可写成

其中。将式（2）沿O2B方向投影，得

将式（2）沿AB方向投影，得

3*.加速度瞬心

与速度瞬心类似，如果刚体内或其延伸部分上存在瞬时加速度为零的点，以此点为基点，则基点法的加速度公式会得到简化。下面来确定该点的位置。

设点P*的瞬时加速度为零，以点O′为基点，则

上式两边左叉乘α，得

即

式（1）、（2）消去得

当ω、α 不同时为零时，

因此，当ω、α 不同时为零时，瞬时加速度为零的点P*是存在的，称此点为瞬时加速度中心，简称加速度瞬心。

由式（4-36）可知

如图4-14所示。

以点P*为基点，平面图形上的一点M的加速度为

式（4-38）与定轴转动刚体上任意点的加速公式有相同的形式，即平面图形上任一点的加速度等于平面图形的角速度ω和角加速度α绕过加速度瞬心垂直平面图形的轴转动时该点的加速度。

以加速度瞬心为基点求平面图形上任一点加速度的方法称为加速度瞬心法。显然，确定加速度瞬心并不怎么方便，在求解加速度问题时一般不采用加速度瞬心法。但在两种特殊情况下却很方便：①ω=0，α≠0，这时，aM=P*M·α，方向由顺着α转向转9 0°；②ω≠0，α=0，这时θ=0，aM=P*M · ω 2，方向由点M指向点P*。

由式（4-34）和式（4-36）可知，速度瞬心和加速度瞬心一般是不重合的，即 与vM一般不共线，因此 和并不是点M的切向和法向加速度，它们只是点M相对于加速度瞬心的切向和法向加速度。

习题

4-1 对于平面运动的刚体，某瞬时角速度、角加速度同时为零，此时刚体上各点的速度与加速度是否相等？能否得出刚体做平移的结论？为什么？

4-2 图示为平面图形的三种速度分布情况，其中可能的是_______，不可能的是________。

4-3 图示小车的车轮A与滚柱B的半径都是r。设A、B与地面之间和B与车板之间都没有滑动，则小车前进时，车轮A和滚柱B的角速度是。

（a）ωA＞ωB

（b）ωA=ωB

（c）ωA＜ωB

4-4 杆A B的两端可分别沿水平、铅直滑道运动。已知B端的速度为vB，则图示瞬时点B相对于基点A的速度大小为________。

（a）vB si nθ

（b）vB cosθ

（c）

（d）θ

4-5 试判断图示平面图形上的加速度分布是否可能？为什么？

4-6 设同一平面图形上任意两点A、B的速度和加速度分别为v A、vB和a A、a B，M为A、B连线的中点，试证：

4-7 图示圆轮Ⅰ、Ⅱ的半径分别为r 1=15 c m，r 2=20 c m，它们的中心分别铰接于杆AB的两端，两轮在半径R=45cm的固定不动的曲面上运动。在图示瞬时，点A的加速度大小为aA=120 c m/s2，其方向与OA线成60°夹角，试求杆AB的角速度、角加速度及点B的加速度。

4-8 如图所示，杆A B一端A沿水平面以匀速vA向右滑动，杆身紧靠高为h的墙边角C。试根据定义求杆与水平面成φ角时的角速度和角加速度。

4-9 如图所示，靠在固定的半圆柱上的直杆A B在铅垂面内运动。已知A端以匀速vA在水平面上运动，固定半圆柱半径为r。试根据定义求杆与水平面成φ角时的角速度和角加速度。

4-1 0 振动筛机构如图所示。筛子摆动由曲柄连杆机带动。已知曲柄OA长l=30 c m，转速n=40 r/min，O 1 D=O 2 E，O 1 O 2=DE，当BC运动至与O同一水平线时，∠AOB=60°，OA⊥AB。试求此瞬时筛子BC的速度。

4-1 1 在图示曲柄连杆机构中，曲柄OA=40 c m，连杆AB=100 c m，曲柄OA绕轴O做匀速转动，其转速n=180 r/min。当曲柄与水平线间成45°时，试求连杆AB的角速度和其中点M的速度。

4-12 在图示四连杆机构中，，曲柄以角速度ω=3rad/s绕轴O转动。试求在图示位置时杆AB和O1B的角速度。

4-13 在图示四连杆机构中，杆AB以角速度ω绕轴A转动，带动杆CD绕轴D转动。已知AB长为r，CD长为l。试求图示位置杆CD的角速度。

4-14 直径为d的滚轮（O为轮心）在水平直线轨道上做纯滚动。长为l的杆AB的A端与轮缘铰接。已知滚轮角速度为ω，在图示瞬时，OA与水平成3 0°夹角，AB处于水平位置。试求此时杆AB的角速度和滑块B的速度。

4-15 使砂轮高速转动的装置如图所示。杆O1O2绕O1轴转动，转速为n。O2处用铰链连接一半径为r2的活动齿轮Ⅱ，杆O1O2转动时轮Ⅱ在固定齿轮Ⅲ上滚动并使半径为r1的齿轮Ⅰ绕O1转动，齿轮Ⅰ上装有砂轮并随之高速转动。已知，n=900r/min，试求砂轮的转速。

4-16 曲柄连杆机构如图所示，已知曲柄OA长r=20 c m，连杆AB长l=100 c m，曲柄OA以匀角速度ω 0=10 rad/s转动。试求机构在图示位置，即α=45°、β=45°时，连杆AB的角速度、角加速度和滑块B的加速度。

4-17 平面四连杆机构ABCD的尺寸和位置如图所示。已知杆AB以匀角速度ω=1rad/s绕轴A转动，试求此瞬时点C的速度和加速度。

4-18 半径均为r的两轮用长为l的杆O2A相铰接，如图所示。前轮O1做匀角速纯滚动，轮心速度为v，试求在图示位置后轮O2做纯滚动的角速度和角加速度。