近代光学
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2.4 光在金属表面的反射和折射[2],[5],[20],[21]

2.4.1 金属中的透射光

假设电磁波在介电常数为ε、磁导率为μ、电导率为σ的各向同性介质中传播，根据麦克斯韦方程

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式中，传导电流密度j和自由电荷密度ρ之间满足电流的连续性方程

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由本构关系

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将式（2.4-3）、式（2.4-5）代入式（2.4-1b）得

▽×H-=σE

对上式求散度得

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即

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故有

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其解为

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其中

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τ称为弛豫时间。由此可见，自由电荷密度ρ随时间指数衰减。通常τ很短，对于金属约为10-1 8秒量级，因此金属中的自由电荷密度可认为始终为零，于是有

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金属中的波动方程可表示为

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对单色平面光波有

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将上式代入式（2.4-12）得

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引入复波数k～，令

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再定义复介电常数ε～为

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这样得到

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它与介质对应的关系相似。同样，可引入复相速v～、复折射率n～，各自表示为

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令

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式中，κ称为衰减系数。取式（2.4-19）和式（2.4-20）的平方，得到

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故

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由式（2.4-23）和式（2.4-24）解得

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引入复波矢，令

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式中，为波矢的单位矢量，k'、k″均为实矢量。通常也将定义为折射矢量N，即

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利用复波矢，可以将金属中电场矢量的波动形式表示为

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式中，为平面波的振幅，显然振幅沿k″方向衰减，因此也称k″为衰减常数;k'·r为

相位传播因子，k'称为传播常数。k'决定平面波的等相面，而k″则决定等幅面。一般地，k'与k″的方向不同，因此等幅面与等相面不一致，说明金属中的透射波一般是非均匀波。

不妨先看一个简单的情况，即单色平面光波垂直于金属表面传播，假设金属表面为xy平面（z=0），光波沿z轴在金属中传播，此时，k'与k″都沿z轴方向，式（2.4-29）可写为

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其中，k'、k″分别为

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对于良导体，σ/(εω)≫1，则有

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根据式（2.4-30），在z=z0=1/k″处，振幅降为表面处振幅的e-1，z0称为穿透深度，其值为

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可见，穿透深度与光波频率及导体的电导率的平方根成反比。以铜为例，其电导率约为5.9× 107/（Ω·m），对于可见光，穿透深度约为数纳米。

将式（2.4-30）代入麦克斯韦方程组可以得到

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式中，^为表面法线方向的单位矢量，注意不要与折射率混淆。对于良导体，将式（2.4-33）代入式（2.4-35）可得

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可见，磁场的相位比电场的相位落后π/4。并且

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即

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而在介质中，有

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这说明相对于介质，在金属中电磁波的磁场的作用比电场的作用要大。

下面来讨论一个普遍的例子。假设介质1是空气，介质2是金属，将金属的复折射率写为

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由斯内尔定律

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因为为复数，因此也是复数;显然不再有折射角的简单几何意义。在可见光范围内，金属反射不再满足布儒斯特定律。下面讨论光在金属中的实际折射角。设入射面为xz平面，金属中光波相位的空间变化为·r，其中可表示为

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由式（2.4-41）和式（2.4-42），可得

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为运算方便起见，令

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式中，q和γ都是实数。经过计算，得到

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于是得到相位的空间变化为

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将上式代入式（2.4-29），可以得到等幅面方程为

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即z为常数的平面。同样也得到等相面方程为

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可见，等相面为平面，设该平面的法线与界面法线的夹角为，则

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则由上式可以得到，光从空气入射到金属中实数形式的折射定律为

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其中为光在金属中真实折射角为金属的实折射率，即

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显然与入射角θ1有关。

2.4.2 金属界面的反射光

假设光从折射率为n1的介质入射到折射率为=n(1+iκ)的金属表面，则反射光仍然在介质中，故反射光还是均匀波。s光和p光的振幅反射率分别为

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由斯内尔定律和三角函数关系可得

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令

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则由式（2.4-53a）和式（2.4-53b）可得

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s光和p光的光强反射率分别为

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令δ=δs-δp，由式（2.4-44）可得，当θ1从0°到90°时，δ从180°降到0°;其中，当θ1=θP时，δ=90°，θP称为主入射角，类似于布儒斯特角。当入射角为主入射角时，RP有极小值，但不为零，故光在金属表面的反射不符合布儒斯特定律。相应地引入主方位角ΨP，定义为

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可以证明[2]，金属的光学常数n、κ与主入射角θP及主方位角ΨP近似满足

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因此，通过对主方位角ΨP和主入射角θP的测量，可以获得金属的光学常数。

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