习题

1.1已知三个矢量分别为A=ax+ay2-az3，B=-ay4+az和C=ax5-az2。试求：（1）|A|，|B|和|C|；（2）aA，aB和aC；（3）|A+B|；（4）A·B；（5）A ×B；（6）（A×B）·C；（7）（A×B）×C。

1.2已知两矢量分别为A=ax+ay2+az3和B=ax4-ay5+az6，A和B间的夹角是多大？试用计算说明A在B上的投影值与B在A上的投影值是否相等？

1.3已知两矢量分别为A=ax4+ay6-az2和B=-ax2+ay4+az8，A和B是否正交？

1.4利用两矢量点积和叉积的定义式写出直角坐标系中单位矢量ax，ay和a z的自点积、互点积、自叉积和互叉积。

1.5利用两矢量点积和叉积的定义式写出圆柱坐标系及球坐标系中单位矢量aρ，aφ和az及ar，aθ和aφ的自点积、互点积、自叉积和互叉积。

1.6已知在场点P（2，-1，1）处沿射线l方向有一矢量A=ax2+ay2-az，其单位矢量为al=A/|A|，试求标量场Φ=xy2+yz3在该点的梯度及沿al的方向导数。

1.7已知标量函数为Φ=xy2+yz2+z，试求在点P（1，2，1）处的梯度。

1.8已知任意点P的位置矢量r=axx+ayy+azz，试求r的散度。

1.9已知任意点P的位置矢量可分别表示为r=aρ ρ+azz和r=arr，试分别求r的散度。说明矢量的散度与坐标选取有无关系的原因。

1.10已知长直载流导线周围的磁感应强度为，C为某一常数，试求其散度。计算结果表明这是什么源产生的什么场？

1.11已知长直线电荷导线周围的电场强度为E=，C为某一常数，试求其旋度。计算结果表明这是什么源产生的什么场？这个场能否用标量位的梯度来表示？

1.12已知矢量函数F=a x（3 y-az）+a y（bx-2 z）-a z（cy+z），当a，b和c取什么值时，F为无旋场？

1.13已知矢量F=a x（x 2-y 2）-a y 2 xy，试根据亥姆霍兹定理判定F是哪一类性质的场？F能否用标量位的梯度来表示？

1.14已知矢量函数F分别取，和，C为任意常数，试根据亥姆霍兹定理判定它们分别属于哪一类性质的场？其中哪一类场可以用标量位的梯度来表示？