4.1 定义

4.1.1 矩阵

简单地讲，矩阵（matrix）就是一张长方形的元素表，通常用大写字母表示，而其中的元素则用小写字母表示。例如：

表示一个包含n行、m列的矩阵X。此时，矩阵X的维数是n×m。我们称X为n ×m矩阵，它实际上是一张n ×m的长方形表。

一个矩阵包含的元素个数就等于其行数乘以列数所得的积，即n×m维的矩阵共有n ×m个元素。每个元素都有其在行和列中的确定位置。通常在元素的右下角标以相应的数字来表明该元素在矩阵中的行列位置，其中，第一个数字表示该元素所处的行号，第二个数字表示该元素所处的列号。比如，在上面的示例矩阵X中，元素x12中的下角标12表明该元素位于矩阵的第1行第2列。

4.1.2 向量

向量（vector）是一种特殊的矩阵。向量可以分为行向量（row vector）和列向量（column vector）。仅由一行元素构成的矩阵为行向量，而仅由一列元素构成的矩阵为列向量。

向量可以用小写字母表示，如

就是一个列向量。x′=[x1x2x3]就是一个行向量。它可以由列向量

转置而成。也就是说，一个列（行）向量通过转置可以变成一个行（列）向量。矩阵的转置通过在向量右上角添加一个撇号来表示。比如，上面的x′就表示对列向量x进行转置。下面具体介绍矩阵的转置。

4.1.3 转置

转置（transpose）是对矩阵所做的一种行列变换，从而使得一个矩阵变成一个新的矩阵。具体而言：假设有一个n×m维的矩阵X，我们将其中的行变换成列、列变换成行，从而得到一个新矩阵。用X′表示这个新矩阵，它是一个m ×n维的矩阵。矩阵转置其实就是把原矩阵的第i行第j列元素作为新矩阵的第j行第i列元素。简单地讲，就是对原矩阵进行行列对调。

例如，假设有：

那么，通过对矩阵进行转置可以得到：

其中，X是n ×m维的矩阵，而X′是m ×n维的矩阵。

向量作为特殊的矩阵，可以进行同样的操作。下面，我们再举一个对向量进行转置的例子。设有向量：

则转置之后，得到：

x′ = [123]

这也就是之前所说的列向量转置后就变为行向量；反之，行向量转置后就变为列向量。