2.3　初 等 函 数

把一元实初等函数的有关定义推广到复变数情形便得到本节中一些常用的复初等函数.

2.3.1　指数函数

由上节例2.2.1可知，函数f（z）=ex（cosy+isiny）在复平面内解析，且f'（z）=f（z）.容易验证f（z1+z2）=f（z1）·f（z2）成立.因此规定：具备以上特征的函数为复变指数函数.

定义2.3.1　对任意的复数z=x+iy，规定函数w=ex（cosy+isiny）为复数z的指数函数（Exponential function），记作

w=ez=ex（cosy+isiny）或exp（z）=ex（cosy+isiny）.　　　（2.3.1）

显然有|ez|=ex，Arg（ez）=y+2kπ　（k为整数）.

从而，ez≠0.当Re（z）=x=0，即z=iy时，式（2.3.1）变为欧拉公式

eiy=（cosy+isiny）.　　　（2.3.2）

当Im（z）=y=0，即z=x时，式（2.3.1）变为ez=ex，所以复指数函数是实指数函数的推广.

由定义2.3.1容易验证指数函数ez具有下列性质：

①对任意整数k，都有

ez=ez+2kπi，

即ez是以2πi为基本周期的周期函数.

②对任意复数z1=x1+iy1，z2=x2+iy2有

但一般不成立，如

③w=ez在整个复平面内解析，且 

2.3.2　对数函数

同一元实函数一样，把指数函数的反函数称为对数函数.即称满足方程

ew=z　（z≠0）.　　　（2.3.3）

的w为复数z的对数（Logarithm）函数，记作

        w=Lnz.　　　（2.3.4）

为导出其计算公式，设w=u+iv，z=|z|eiarg（z），代入式（2.3.3）得

        eu+iv=|z|eiarg（z），

比较等式两端得实数

u=ln|z|，v=arg（z）+2kπ，

即复数z的对数的所有值为

Lnz=ln|z|+iarg（z）+2kπi.　　　（2.3.5）

其中k=0，±1，±2，….由此可见，w=Lnz的定义域为z≠0，并且作为周期函数的反函数是多值的.在式（2.3.5）中分别取k=0，1，-1，…，可得它的不同的单值分支，且每两个单值分支都相差2πi的整数倍.通常只讨论其k=0的单值分支，称为Lnz的主值，即复数z（z≠0）的主值对数，记作lnz.即

lnz=ln|z|+iarg（z）.　　　（2.3.6）

从而有

        Lnz=lnz+2kπi　（k取整数）.

式（2.3.6）中ln|z|为正实数的对数，当z=x>0时，arg（z）=0，于是有lnz=lnx，所以主值对数是正实数对数在复数域内的推广.

就主值lnz而言，由于ln|z|在原点不连续，而arg（z）在原点及负实轴上都是不连续的，所以lnz在除去原点及负实轴的复平面内连续而且单值，由反函数的求导法则得

所以lnz在除去原点及负实轴的复平面内解析.

对于其他各分支，记（Lnz）k=lnz+2kπi　（k为任意给定的整数），称为Lnz的第k个分支.显然它在除去原点及负实轴的复平面内连续、解析.同样有

另外，由式（2.3.5）和幅角的相应性质可以证明复变数对数函数仍具有下列性质：

Ln（z1z2）=Lnz1+Lnz2，

Ln（z1/z2）=Lnz1-Lnz2.

注意　上述等式两边都是无穷多个复数值的集合，其等号成立是指两边的集合相等，即右边Lnz1的每一个值加上（减去）Lnz2的任意一个值都等于左边的某个适当分支，因此对主值对数而言，上述等式却未必成立.而且等式一般也不成立.

【例2.3.1】　求Ln2， Ln（-i）及它们相应的主值.

解　因为　Ln2=ln2+2kπi，所以其主值为ln2.

Ln（-i）=ln1+iArg（-i）=，其中k为整数，所以它的主值为

2.3.3　幂函数

对于任意复数α及复变量z≠0，定义幂函数w=zα为

zα=eαLnz=eα［ln|z|+iarg（z）+2kπi］　（k为整数）.　　　（2.3.7）

在α为正实数情形，补充规定：当z=0时，有zα=0.

由于Lnz的多值性，所以一般来说，zα是多值函数，但随着α的取值不同分为以下几种情形：

①当α=n（n为正整数）时，zα=zn是单值函数.

②当α=-n（n为正整数）时，也是单值函数.

③当（n为正整数）时，就是根式函数，且

它只在k=0，1，…，n-1取不同的值，是具有n个分支的多值函数.

④当（m和n为互质的整数，n>0）时，，

也在k=0，1，…，n-1取不同的值，是具有n个分支的多值函数.

⑤当α为无理数或虚数时，zα有无穷多个值，且

zα=|z|αeiα［arg（z）+2kπ］　（z≠0，k为整数）.

另外，由于Lnz的各个分支在除去原点及负实轴的复平面内解析，因而zα的各个分支也在该域内解析，且

【例2.3.2】　求的值.

解　

方框居左$$

由此可见，ii的值全为正实数，它的主值是

2.3.4　三角函数和双曲函数

复变量的三角函数是将欧拉公式推广到任意复数的情形给出的.即对任意复数z，有

eiz=cosz+isinz，　e-iz=cosz-isinz，

两式相减、相加分别得到

　　　（2.3.8）

称它们分别是z的正弦函数和余弦函数.

这样定义的三角函数具有下列性质：

①由于ez是以2πi为基本周期的周期函数，所以由定义不难推得，正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，即

sin（z+2π）=sinz，cos（z+2π）=cosz，

并且易见sinz是奇函数，cosz是偶函数，即sin（-z）=-sinz，cos（-z）=cosz.

②令sinz=0，即eiz=e-iz或e2iz=1，由z=x+iy有

e-2y·e2ix=1=e2nπi，

故

e-2y=1， 2x=2nπ.

即

y=0，x=nπ　（n=0，±1，±2，…）.

所以sinz的零点是z=nπ.同理可得cosz的零点是π （n=0，±1，±2，…）.

③sinz和cosz在整个复平面内解析，且（sinz）'=cosz，（cosz）'=-sinz.

④用sinz和cosz的定义可以直接验证实变三角函数的三角公式仍然成立.如

⑤在复数域内不能断言|sinz|≤1和|cosz|≤1.如，.可见，当y充分大时，cosiy可充分大.这一性质与实变三角函数是截然不同的.

【例2.3.3】　求sin（2i）的值.

解　

其他的三角函数可类似定义如下：

其代数性质及解析性读者可自己推证.

双曲函数的定义与一元实函数情形相同，即其双曲正弦、双曲余弦、双曲正切和双曲余切分别定义为

显然它们是实变量双曲函数的推广，且具有下列重要性质.

①shz，chz都是以2πi为周期的周期函数，shz是奇函数，chz是偶函数.

②shz，chz在整个复平面内解析且

（shz）'=chz，（chz）'=shz.

③三角函数与双曲函数有如下关系：

sh（iz）=isinz，　sin（iz）=ishz；

ch（iz）=cosz，　cos（iz）=chz；

ch2z-sh2z=1

2.3.5　反三角函数与反双曲函数

反三角函数定义为三角函数的反函数.

设z=sinw，则称w为z的反正弦函数，记为

w=Arcsinz，

由        

得        

（eiw）2-2izeiw-1=0.

解之，得        

于是有

由于根式函数、对数函数都是多值函数，所以它也是一个多值函数，并且在整个复平面内都有定义.

类似地可以定义反余弦函数和反正切函数，并得出它们的表达式

这三个反三角函数在相应地取得单值连续分支后，根据反函数的求导公式，可得

双曲函数的反函数称为反双曲函数，用推导反三角函数表达式完全类似的方法可得各反双曲函数的表达式.

反双曲正弦　

反双曲余弦　　

反双曲正切　　

它们都是多值函数.