第四章　效用理论

问题一

1．构成消费者行为理论基础的基本假定之一是随着消费的商品数量的增加，商品的边际效用递减，问

（1）如果你认为这一假定正确，请说明该假定在消费者行为理论的发展及其结论中起什么作用。

（2）如果你认为这一假定是错误的，请说明消费者行为理论的主要结果可以通过别的方法得到。

答：边际效用递减原理表述如下：假定消费者对其他商品的消费保持不变，则消费者从连续消费某一特定商品中所增加的满足程度将随着这种商品消费量的增加而递减。用数学语言表示，总效用函数是增函数，表示为：

边际效用递减表示为：

边际效用递减规律是基数效用论的基本定律，又称戈森第一定律。导致边际效用递减的原因主要是：随着商品数量的增加，由于人们生理、心理作用的影响，商品对人们的刺激力和重要程度都有下降的趋势。

（1）认为这一假定正确，由边际效用递减原理可以得出消费者效用最大化的均衡进而推导出消费者的需求曲线。

消费者的均衡是指在商品现行价格和不变的消费者收入的条件下，消费者不愿意再变动购买量。假定消费者的行为目标是求得效用的最大化或求得最大的满足，消费者的均衡建立在这一假定基础之上。消费者要想获得效用的最大化，必须按照下列原则调整自己的购买量：在既定的收入与商品价格下，追求效用最大化的消费者分配他在各种商品上支出的原则是使得他花费在所购买的每一种商品上的最后一元钱所得到的边际效用相等。这是消费者购买商品时获得效用最大化的必要条件。这一条件可以表示为：

其中表示任一种商品的边际效用，表示任一种商品的价格。

若消费者所购买的是两种商品，则消费者达到效用最大化的条件是：

消费者均衡条件是在消费者收入与商品的价格既定的条件下达到的。如果消费者的收入或商品的价格发生变化，将会改变消费者的均衡。在假定消费者的收入不变，某种商品的价格发生了变化，会导致需求量的变化，进而得到消费者的需求曲线。

（2）如果认为这一假定是错误的，消费者行为理论的主要结果可以通过序数效用和无差异曲线得到。

序数效用理论认为，效用是心理现象，不可以度量，只能根据偏好的程度排列出第一、第二……的顺序。因此，效用的大小只与偏好排列的顺序有关，而与效用绝对值的大小无关。

无差异曲线表示对于消费者来说能产生同等满足程度的各种不同商品组合点的轨迹。无差异曲线也称为等效用线。无差异曲线的本质特征是商品的不同组合可以产生相同的效用水平。这表明在维持消费者效用水平不变的条件下可以用一种商品替代另一种商品。商品间的替代关系对于研究消费者的选择行为是非常重要的。在效用理论中，用于刻画商品之间替代关系的一个重要的概念是边际替代率。

2．偏好的完备性与偏好的传递性含义是什么？考虑、、三组商品以及“至少与同样好…”这种“至少同样好”的关系，这种关系是完备的吗？是传递的吗？是反身的吗？取同样三组商品，考虑一下“的确比…好的关系”，这种关系是完备的吗？是传递的吗？是反身的吗？

答：（1）①完备性。完备性是指任意两组商品，都是可以比较的，而且，比较的全部结果是：

a．；或b．；或c．兼有a、b两种情况。最后一种情况表明：组合与组合是无差别的。

②传递性。传递性是指假如消费者认为组合至少与组合同样好，组合至少与组合同样好，则组合至少与组合同样好。也就是若，，则。

③反身性。反身性是指任何一组商品至少和自身一样好，即。

（2）“至少与同样好”这种“至少同样好”的关系是弱偏好关系（weak preference），即，这种关系并非完备，只有表示“至少和同样好”时，才说明之间的完备关系。该关系满足传递性，因为若，

，那么可以推出。而反身性是相对于一组商品自身而言的，即，所以满足反身性。

（3）取同样三组商品，若满足“的确比…好的关系”，则代表着强偏好，之间则存在完备性。对于商品本身而言，可以满足反身性，对于三种强偏好的商品，则可以满足传递性特点。

3．为什么一个消费者在达到最大满足时，所消费的两商品的边际替代率等于两商品的价格比率？

答：（1）在一定的预算约束下，为了实现最大的效用，消费者应该是选择最优的商品组合，使得两个商品的边际替代率等于两种商品的价格之比。即在消费者的均衡点上，消费者愿意用一单位的某种商品去交换的另一种商品的数量，应该等于该消费者能够在市场上用一单位的这种商品去交换得到的另一种商品的数量。

（2）假定消费者的行为是追求效用最大化。消费者均衡是消费者达到效用最大化时的一种均衡状态。如果消费者把其既定货币收入用于购买，两商品，那么消费者从，两商品的消费中获得效用最大化的必要条件是两商品的边际效用之比等于它们的价格之比，数学推导如下：

效用函数为：，收入函数为：。

则运用拉式函数求解，即：

分别对三个变量求偏导并令其等于零，得到：

……………………①

……………………②

…………… …③

整理①②并把其结果相比得：

即两商品的边际替代率等于两商品的价格比率。

问题二

1．画一条无差异曲线，该无差异曲线在各点上的边际替代率为常数。再画两条斜率不同的预算线，解释在各种可能情况下效用最大化的均衡。

答：（为常数），意味着无差异曲线为一条直线，商品和是完全替代品。若预算线与无差异曲线重合，则所有点都是均衡点。若预算线斜率的绝对值大于无差异曲线斜率的绝对值则只购买商品，反之只购买商品。

图4-8　完全替代品无差异曲线

如图4-8所示，有三种可能的情况。如果，那么预算线就比无差异曲线平坦。在这种情况下，最优消费束是消费者把他所有的钱都花费在商品上。如果，那么，消费者就只购买商品。最后，如果，就会有一系列的最优选择。在这种情况下，满足预算约束的任何数量的商品和商品都是最优的。因此，对商品来说，需求函数为：

如果商品是完全替代的，最优选择通常在边界上，那么，消费者将会购买较便宜的一种。而如果两种商品有相同的价格，消费者就不会在意购买哪一种。

2．假定张、李二人每月将40元钱用于买饮料。张喜欢含糖饮料，李喜欢不含糖饮料。

（1）在同一坐标中画出张、李二人的无差异曲线。

（2）利用边际替代率解释张、李二人的无差异曲线为何不同。

（3）如果张、李二人对于所购两种饮料支付同样的价格，他们的边际替代率是否相同？为什么？

答：（1）如图4-9所示，纵坐标表示含糖饮料，横坐标表示不含糖饮料，因为张喜欢含糖饮料，李喜欢不含糖饮料，因此张的无差异曲线在任一点较之李的无差异曲线平缓。

图4-9　两人的无差异曲线

（2）对于平面的任一组合点，为得到一单位不含糖饮料，张愿放弃的含糖饮料比李要少，张需要更多的不含糖饮料去补偿自己所放弃的某些含糖饮料，因此，张具有比较低的边际替代率。

（3）张、李的相等，等于价格比率，但由于二者偏好不同，他们消费的两种商品量不同，在不同的消费数量下，他们的相同。

3．某大学生只有6天的时间应付期末考试。该生要考数学、经济学、英语三门课。他的目标是要求得三门课尽可能高的总成绩（或者说三门课尽可能高的平均成绩）。他每门课的成绩依赖于他分配在每门课上的复习时间。根据时间的安排，每门课成绩最佳估计分数如下：

该生如何分配复习时间才能使总成绩最高？

解：在6天的时间分配中，分别把1-6天中经济学，数学，英语相应的边际效用计算出来，该边际效用是指多复习一天能够提高的分数。

表4-1

如表4-1所示，经济学用3天，数学用2天，英语用1天，则能使他花在每门课上的最后一天时间带来的成绩的提高量相等，即等于边际效用10。根据消费者均衡条件，，且此时3天＋2天＋1天＝6天，可以达到最优时间配置。

4．某消费者消费与两种商品，其无差异曲线每一点上的斜率都等于，是表示商品的数量，

表示商品的数量。

（1）假定消费者的货币收入为，、分别为，两商品的价格。证明对于商品的需求独立于商品的价格；并证明商品需求的价格弹性等于1。

（2）当元，元，元时，该消费者的边际替代率是多少？

（3）恩格尔曲线的形状是什么样？对商品需求的收入弹性是多少？

解：（1）消费者均衡时，，那么，。

令预算方程为：，因此则有：

可得：，这就是对商品的需求函数。

由此可见，对的需求不取决于的价格。

对于，有。于是，。

故商品的需求价格弹性为1。

（2）已知，，消费者均衡时，。

（3）由，得出。因此，若以货币收入为纵轴，以商品的消费量为横轴，则表示和

之间关系的恩格尔曲线是一条向右上方倾斜的直线，而且是从原点出发的（因为当为零时，也为零）直线，其斜率是。

对商品需求的收入弹性：

5．设某消费者效用函数为；消费者的收入为；、两商品的价格分别为、

；求对于、两商品的需求。

解：该消费者的效用最大化问题为：

该问题的拉格朗日函数为：

使最大化的、、满足一阶条件：

　 ①

　  ②

  ③

①式除以②式，得：

即：

　  ④

④式代入③式得：

　  ⑤

⑤式代入④式得：

  ⑥

并把其结果相比得：商品的边际效用之比等于它们的价格之比，⑤，⑥两式即为，的需求函数。