2.4.2 求和、平均值、方差
本节介绍的函数如表2-4所示。
表2-4 本节要介绍的函数
sum()计算数组元素之和，也可以对列表、元组等与数组类似的序列进行求和。当数组是多维时，它计算数组中所有元素的和。这里我们使用random.randint()模块中的函数创建一个随机整数数组。
np.random.seed(42)
a = np.random.randint(0,10,size=(4,5))
a np.sum(a)
----------------- ---------
[[6, 3, 7, 4, 6], 96
[9, 2, 6, 7, 4],
[3, 7, 7, 2, 5],
[4, 1, 7, 5, 1]]
如果指定axis参数，则求和运算沿着指定的轴进行。在上面的例子中，数组a的第0轴的长度为4，第1轴的长度为5。如果axis参数为1，则对每行上的5个数求和，所得的结果是长度为4的一维数组。如果参数axis为0，则对每列上的4个数求和，结果是长度为5的一维数组。即结果数组的形状是原始数组的形状除去其第axis个元素：
np.sum(a, axis=1) np.sum(a, axis=0)
----------------- --------------------
[26, 28, 24, 18] [22, 13, 27, 18, 16]
当axis参数是一个轴的序列时，对指定的所有轴进行求和运算。例如下面的程序对一个形状为(2,3,4)的三维数组的第0和第2轴求和，得到的结果为一个形状为(3,)的数组。由于数组的所有元素都为1，因此求和的结果都是8：
np.sum(np.ones((2, 3, 4)), axis=(0, 2))
array([ 8., 8., 8.])
有时我们希望能够保持原数组的维数，这时可以设置keepdims参数为True：
np.sum(a, 1, keepdims=True) np.sum(a, 0, keepdims=True)
--------------------------- ---------------------------
[[26], [[22, 13, 27, 18, 16]]
[28],
[24],
[18]]
sum()默认使用和数组的元素类型相同的累加变量进行计算，如果元素类型为整数，则使用系统的默认整数类型作为累加变量，例如在32位系统中使用32位整数作为累加变量。因此对整数数组进行累加时可能会出现溢出问题，即数组元素的总和超过了累加变量的取值范围。下面的程序计算数组a中每个元素占其所在行总和的百分比。在调用sum()函数时：
●设置dtype参数为float，这样得到的结果是浮点数组，能避免整数的整除运算。
●设置keepdims参数为True，这样sum()得到的结果的形状为(4,1)，能够和原始数组进行广播运算。
pa = a / np.sum(a, 1, dtype=float, keepdims=True) * 100
pa pa.sum(1, keepdims=True)
------------------------------------------ ------------------------
[[ 23.08, 11.54, 26.92, 15.38, 23.08],[[ 100.],
[ 32.14, 7.14, 21.43, 25. , 14.29],[ 100.],
[ 12.5 , 29.17, 29.17, 8.33, 20.83],[ 100.],
[ 22.22, 5.56, 38.89, 27.78, 5.56]][ 100.]]
对很大的单精度浮点数类型的数组进行计算时，也可能出现精度不够的现象，这时也可以通过dtype参数指定累加变量的类型。在下面的例子中，我们对一个元素都为1.1的单精度数组进行求和，比较单精度累加变量和双精度累加变量的计算结果：
np.set_printoptions(precision=8)
b = np.full(1000000, 1.1, dtype=np.float32) # 创建一个很大的单精度浮点数数组
b # 1.1无法使用浮点数精确表示，存在一些误差
array([ 1.10000002, 1.10000002, 1.10000002, ..., 1.10000002,
1.10000002, 1.10000002], dtype=float32)
使用单精度累加变量进行累加计算，误差将越来越大，而使用双精度浮点数则能够得到较精确的结果：
np.sum(b) np.sum(b, dtype=np.double)
--------- --------------------------
1099999.3 1100000.0238418579
上面的例子将产生一个新的数组来保存求和的结果，如果希望将结果直接保存到另一个数组中，可以和ufunc函数一样使用out参数指定输出数组，它的形状必须和结果数组的形状相同。
mean()求数组的平均值，它的参数与sum()相同。和sum()不同的是：对于整数数组它使用双精度浮点数进行计算，而对于其他类型的数组，则使用和数组元素类型相同的累加变量进行计算：
np.mean(a, axis=1) # 整数数组使用双精度浮点数进行计算
array([ 5.2, 5.6, 4.8, 3.6])
np.mean(b) np.mean(b, dtype=np.double)
---------- ---------------------------
1.0999993 1.1000000238418579
此外，average()也可以对数组进行平均计算。它没有out和dtype参数，但有一个指定每个元素权值的weights参数，可以用于计算加权平均数。例如有三个班级，number数组中保存每个班级的人数，score数组中保存每个班级的平均分，下面计算所有班级的加权平均分，得到整个年级的平均分：
score = np.array([83, 72, 79])
number = np.array([20, 15, 30])
print np.average(score, weights=number)
78.6153846154
相当于进行如下计算：
print np.sum(score * number) / np.sum(number, dtype=float)
78.6153846154
std()和var()分别计算数组的标准差和方差，有axis、out、dtype以及keepdims等参数。方差有两种定义：偏样本方差(biased sample variance)和无偏样本方差(unbiased sample variance)。偏样本方差的计算公式为：
而无偏样本方差的公式为：
当ddof参数为0时，计算偏样本方差；当ddof为1时，计算无偏样本方差，默认值为0。下面我们用程序演示这两种方差的差别。
首先产生一个标准差为2.0、方差为4.0的正态分布的随机数组。我们可以认为总体样本的方差为4.0。假设从总体样本中随机抽取10个样本，我们分别计算这10个样本的两种方差，这里我们用一个二维数组重复上述操作100000次，然后计算所有这些方差的期望值：
a = nr.normal(0, 2.0, (100000, 10))
v1 = np.var(a, axis=1, ddof=0) #可以省略ddof=0
v2 = np.var(a, axis=1, ddof=1)
np.mean(v1) np.mean(v2)
------------------ ------------------
3.6008566906846693 4.0009518785385216
可以看到无偏样本方差的期望值接近于总体方差4.0，而偏样本方差比4.0小一些。
偏样本方差是正态分布随机变量的最大似然估计。如果有一个样本包含n个随机数，并且知道它们符合正态分布，通过该样本可以估算出正态分布的概率密度函数的参数。所估算的那组正态分布参数最符合给定的样本，就称为最大似然估计。
正态分布的概率密度函数的定义如下，其中μ表示期望，σ2表示方差：
所谓最大似然估计，就是找到一组参数使得下面的乘积最大，其中x1为样本中的值：
f(x1 )f(x2 )…f(xn )
专业术语总是很难理解，下面我们还是用程序来验证：
def normal_pdf(mean, var, x):
return 1 / np.sqrt(2 * np.pi * var) * np.exp(-(x - mean) ** 2 / (2 * var))
nr.seed(42)
data = nr.normal(0, 2.0, size=10) ❶
mean, var = np.mean(data), np.var(data) ❷
var_range = np.linspace(max(var - 4, 0.1), var + 4, 100) ❸
p = normal_pdf(mean, var_range[:, None], data) ❹
p = np.product(p, axis=1) ❺
normal_pdf()为计算正态分布的概率密度的函数。❶产生10个正态分布的随机数。❷计算其最大似然估计的参数。❸以最大似然估计的方差为中心，产生一组方差值。❹用正态分布的概率密度函数计算每个样本、每个方差所对应的概率密度。由于使用了广播运算，得到的结果p是一个二维数组，它的第0轴对应var_range中的各个方差，第1轴对应data中的每个元素。❺沿着p的第1轴求所有概率密度的乘积。product()和sum()的用法类似，用于计算数组所有元素的乘积。
下面绘制var_range中各个方差对应的似然估计值，并用一条竖线表示偏样本方差。由图2-8可以看到偏样本方差位于似然估计曲线的最大值处。
图2-8 偏样本方差位于似然估计曲线的最大值处
import pylab as pl
pl.plot(var_range, p)
pl.axvline(var, 0, 1, c="r")
pl.show()