2.4.9 各种乘积运算
与本节内容对应的Notebook为：02-numpy/numpy-460-functions-dot.ipynb。
本节介绍的函数如表2-9所示。
表2-9 本节要介绍的函数
矩阵的乘积可以使用dot( )计算。对于二维数组，它计算的是矩阵乘积；对于一维数组，它计算的是内积。当需要将一维数组当作列矢量或行矢量进行矩阵运算时，先将一维数组转换为二维数组：
a = np.array([1, 2, 3])
a[:, None] a[None, :]
---------- -----------
[[1], [[1, 2, 3]]
[2],
[3]]
对于多维数组，dot( )的通用计算公式如下，即结果数组中的每个元素都是：数组a的最后轴上的所有元素与数组b的倒数第二轴上的所有元素的乘积和：
dot(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:] *
b[k,:,m])
下面以两个三维数组的乘积演示dot( )的计算结果。首先创建两个三维数组，这两个数组的最后两轴满足矩阵乘积的条件：
a = np.arange(12).reshape(2, 3, 2)
b = np.arange(12, 24).reshape(2, 2, 3)
c = np.dot(a, b)
c.shape
(2, 3, 2, 3)
c是数组a和b的多个子矩阵的乘积。我们可以把数组a看作两个形状为(3,2)的矩阵，而把数组b看作两个形状为(2,3)的矩阵。a中的两个矩阵分别与b中的两个矩阵进行矩阵乘积，就得到数组c，c[i, :, j, :]是a中第i个矩阵与b中第j个矩阵的乘积。
for i, j in np.ndindex(2, 2):
assert np.alltrue( c[i, :, j, :] == np.dot(a[i], b[j]) )
对于两个一维数组，inner( )和dot( )一样，计算两个数组对应下标元素的乘积和。而对于多维数组，它计算的结果数组中的每个元素都是：数组a和b的最后轴的内积。因此数组a和b的最后轴的长度必须相同：
inner(a, b)[i,j,k,m] = sum(a[i,j,:]*
b[k,m,:])
下面是对inner( )的演示：
a = np.arange(12).reshape(2, 3, 2)
b = np.arange(12, 24).reshape(2, 3, 2)
c = np.inner(a, b)
c.shape
(2, 3, 2, 3)
for i, j, k, l in np.ndindex(2, 3, 2, 3):
assert c[i, j, k, l] == np.inner(a[i, j], b[k, l])
outer( )只对一维数组进行计算，如果传入的是多维数组，则先将此数组展平为一维数组之后再进行运算。它计算列向量和行向量的矩阵乘积：
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6, 7])
np.outer(a, b) np.dot(a[:, None], b[None, :])
------------------ ------------------------------
[[ 4, 5, 6, 7], [[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 10, 12, 14],[ 8, 10, 12, 14],
[12, 15, 18, 21]][12, 15, 18, 21]]
tensordot( )将两个多维数组a和b指定轴上的对应元素相乘并求和，它是最一般化的乘积运算函数。下面通过一些例子逐步介绍其用法。下面计算两个矩阵的乘积：❶axes参数有两个元素，第一个元素表示a中的轴，第二个元素表示b中的轴，这两个轴上对应的元素相乘之后求和。❷axes也可以是一个整数，它表示把a中的后axes个轴和b中的前axes个轴进行乘积和运算，而对于乘积和之外的轴则保持不变。
a = np.random.rand(3, 4)
b = np.random.rand(4, 5)
c1 = np.tensordot(a, b, axes=[[1], [0]]) ❶
c2 = np.tensordot(a, b, axes=1) ❷
c3 = np.dot(a, b)
assert np.allclose(c1, c3)
assert np.allclose(c2, c3)
对于多维数组的dot( )乘积，可以用tensordot(a, b, axes=[[-1], [-2]])表示，即将a的最后轴和b中的倒数第二轴求乘积和：
a = np.arange(12).reshape(2, 3, 2)
b = np.arange(12, 24).reshape(2, 2, 3)
c1 = np.tensordot(a, b, axes=[[-1], [-2]])
c2 = np.dot(a, b)
assert np.alltrue(c1 == c2)
在下面的例子中，将a的第1、第2轴与b的第1、第0轴求乘积和，因此c中的每个元素都是按照如下表达式计算的：
c[i, j, k, l] = np.sum(a[i, :, :, j] *
b[:, :, k, l].T)
注意由于b对应的axes中的轴是倒序的，因此需要做转置操作。
a = np.random.rand(4, 5, 6, 7)
b = np.random.rand(6, 5, 2, 3)
c = np.tensordot(a, b, axes=[[1, 2], [1, 0]])
for i, j, k, l in np.ndindex(4, 7, 2, 3):
assert np.allclose(c[i, j, k, l], np.sum(a[i, :, :, j] *
b[:, :, k, l].T))
c.shape
(4, 7, 2, 3)