1.2　时频分析技术的研究方法

通常的信号分析与处理是在幅值、时间、频率等域进行的。傅里叶变换建立了信号从时域到频域的映射，经过一百多年的发展，以傅里叶变换为基础的信号处理方法如幅值谱、功率谱、倒频谱分析等已经成为信号分析与处理的重要工具。20世纪90年代，基于傅里叶变换的信息融合技术又将故障诊断技术引入了一个新的层次。将多传感器信息融合思想应用于旋转机械振动信号处理中，产生了三种振动信号的数据层融合分析方法：美国Bently公司提出的全谱理论、西安交通大学提出的全息谱理论和郑州大学振动工程研究所提出的矢量谱理论。

全谱理论利用几何知识将各单一频率下的轴心轨迹分解为正负进动的圆，在图谱表达上采用了用横坐标的正负半轴来分别表示正负频率，将正负进动圆半径分别在正负频率上表示的方法，通过比较正负进动圆半径得出转子的进动方向。全息谱理论提取转子某些特征频率下的振动，通过描点的方式把单一频率点上的轴心轨迹在相应的频率上画出。矢量谱理论继承了以上两种方法的信息融合的思想，数值计算简便、反映信息全面。

上述研究都是在传统的时域分析和频域分析的领域内进行的，而频域分析中所用的频谱分析、功率谱分析等都是假设信号为平稳信号。虽然傅里叶变换建立了从时域到频域的映射，但它并没有将时域和频域合成一个域，因此，时域图上无法确定任意时间点频率分量的局部信息，同样，频域图上也无法确定任意频率处其谱分量的时间局部化信息。而机械故障诊断中面临着大量的具有时变特性的信号，这些信号往往与设备的故障状态紧密相关，研究这类信号的处理方法具有重要的现实意义和理论价值。从时间-频率二维平面上对信号进行联合分析的时频分析方法被认为是研究非平稳信号的一个有力手段。

1.2.1　基于核函数的时频分析方法

早在1932年Wigner就提出了Wigner分布的概念，并把它用于量子力学领域。直到1948年，Ville把它应用于信号分析领域，因此，Wigner分布又称为Wigner-Ville分布（简记为WVD）。在该分布中，信号出现了两次（“双线性”因之得名），并且不含任何窗函数，业已普遍承认，其时间-带宽积达到了Heisenberg不确定性原理给出的下界，当时没有任何一种时频联合分布的时频分辨率能出其右。与Ville同时，Moyal在研究量子力学时，也采用类似的方法，得到了类似的分布表示形式。随后，Margenal、Hill、Rihaczek和Page分别提出的Rihaczek分布和Page分布，从不同的角度、以不同的形式描述了信号在时频平面上的能量分布情况。上述的几种分布，推导方式不同，表现形式不同，并且各有特点，在1966年，Cohen总结了这些时频分布，给出了一个统一的表示，这就是常说的Cohen类时频分布。Cohen类时频分布不仅概括了以前的几种基于WVD的时频分布，而且还可以选择不同的核函数以及对核函数施加某些约束条件，以产生具有某些特性的时频分布，对时频分布的研究和发展具有重要的意义。1970年，Mark对时频分布进行了较为全面和具有深远意义的研究，强调指出了Wigner分布中存在的虚假值，即人们常说的交叉干扰项，对时频分析所造成的困难。1973年，D.E.Bruijn对WVD作了评述，并给出了把WVD用于信号变换的新的数学基础。20世纪80年代初，Classen和Mecklenbrauker对WVD的定义、性质等作了全面的论述，给出了离散情况下的表示形式，指出了Wigner分布与谱图及其他分布间的关系。WVD具有许多优良的时频特性，但对多分量信号存在严重的交叉项，交叉项的存在使得对分布结果的物理解释出现困难，在一定程度上影响了它的应用。因此许多学者研究了抑制WVD交叉项的方法，比较著名的有1989年Chio和Williams提出的Chio-Williams分布，简称为CWD；1990年，Zhao和Atlas提出的锥形核分布；减少交叉项分布；平滑Wigner分布等。这些方法一般都是采用固定的核函数，主要原理是在模糊域利用固定的核函数对信号的模糊函数进行滤波，从而抑制交叉项。时频分布的结果对信号类型有较强的依赖，对于某一类信号，某一种核函数对应的时频分布可能既具有高的分辨率，又很好地抑制了交叉项，较好地描述了信号的时频成分。但是，同一种分布对另外的信号却常常不能尽如人意。因此，人们开始进一步研究自适应核函数的时频分布。

其中，最有代表性的是G.B.Richard和L.J.Douglas提出的基于信号的自适应核时频分析，使核函数根据信号的特点进行自适应调整，并首次提出了自适应优化核函数的设计准则。之后，G.B.Richard又在此基础上，设计了径向高斯核函数分布。N.C.Richard提出了自适应锥形核设计，根据信号属性自适应调节锥形核的长度。Dongsheng Wu、Joel M.Morris根据上述最优核的设计准则，提出了自适应信号的巴特沃斯核分布。H.C.Antonio和G.Faye B-B提出了一种可以根据信号而变换核形式的可调核，其优点是通过选择五个参数的取值，可以获得不同的核形状，对不同的信号具有较广的适应性，并且给出了当核为条带形、十字形、雪花形、椭圆形、菱形等的参数的取值范围和设计原则。该方法的另一优点是通过对参数施加简单的约束，可以保证时频分布的许多良好的性质。但其最大的缺点是用户必须指定模糊域自项和交叉项的边界，这种自适应性能的缺陷影响了该方法的应用。

1.2.2　基于信号分解的时频分析方法

1946年，Gabor提出了Gabor变换的概念，将一维的时间信号映射成以时间和频率为自变量的二维信号，并通过离散时移和频移构造一系列基函数，然后利用这些基函数将信号在时频平面上展开，用于测量声音信号的频率定位。Gabor变换的提出，为此后在时间-频率联合域内分析信号奠定了理论基础。为更好地理解语音信号，R.K.Potter等也提出了一种实用的时频分析方法，即短时Fourier变换，并将其模的平方称为“声音频谱图”，此即为后来者所称道的谱图，后来逐渐发展成为两种实用的时频分析工具。短时Fourier变换克服了一般Fourier变换谱分析中时间域无限大的缺点，给信号加一个时间窗，使信号集中再现在这个窗口中，所加的窗在时间轴上移动，即可得到不同时刻的频谱。短时傅里叶变换分析方法的不足之处是窗函数所确定的时频窗口具有相同的时宽和频宽，即窗口大小和形状是固定不变的，这不符合实际问题中窗口大小应随信号的频率而变，频率越高，窗口应越小的要求。要提高频域分辨率就得加大时窗长度，这就会造成时域分辨率下降。此外，由于短时傅里叶变换假定信号在窗口内是局部平稳的，对于随时间变化较快的信号，该前提条件难以保证，为提高频域分辨率而加大时窗，信号的局部平稳性更难于保证。Gabor展开之所以有意义，在于可以构造使它们相对于时间和频率都容易定位和高度集中的基函数，因此，Gabor系数可以显示信号在时间-频率点附近的时频特性。但是，由于Gabor变换的时窗宽度在整个时间轴上和频率轴上并没有改变，这样处理的结果是在低频段和高频段都具有相同时域分辨率和频域分辨率。也就是说，Gabor变换，虽然已经具有了平移的功能，Gabor展开的基函数可以体现信号的时频特征，但Gabor基的频率、带宽是固定的，对于非平稳信号，利用具有固定频移的基函数进行变换并不适用。1982年，法国科学家J.Morlet放弃了Fourier变换中的不衰减的正交基，而采用一种被称为“小波”的函数作为基函数，对信号进行处理，提出了小波分析的理论。小波分析理论一经提出，便引起理论工作者极大的研究兴趣，很快成为一大研究热点，法国数学家Y.Meyer对小波理论作出了突出的贡献，Meyer凭借自己深厚的数学功底，建立了小波分析理论的数学基础，构造了具有正交性的实值小波。1988年Daubechies构造出了一系列实用的紧支和正则小波，1989年Mallat总结了前人的工作，提出多分辨分析的框架理论，并给出了著名的Mallat塔式分解算法，奠定了小波分析在广大工程领域应用的基础，使得小波分析这一有力工具迅速在各个学科和工程领域内得到应用，如信号分析、图像处理、地震数据分析、模式识别、故障诊断等。但是，小波变换也有其自身的缺点，首先，其时间-尺度图不像时频图那样直观；其次，小波变换的时移、频移变化是固定的，只是对时频平面进行了机械的格型分割。对于非平稳信号的分析，人们更希望基函数能自适应选取，20世纪90年代，自适应信号分解的思想诞生了。

1.2.2.1　自适应最大投影法

Gabor基的频率、带宽是固定的，很难适用于时变信号的展开和参数估计，而小波变换所选择的基信号只是对时频平面进行了机械的格型分割，因此始终无法同时获得高的时间分辨率和频率分辨率。为了克服上述缺陷，S.Qian、D.Chen和Mallat几乎同时提出了以投影能量最大为准则的自适应投影信号分解法。自适应投影信号分解法是将任一给定信号表示为一组基元函数的线性组合，通常基原子集是一无穷集，最大投影匹配原则即每次投影前都在信号集中选择最佳的信号投影使得投影值最大。自适应信号投影分解是把被分析的信号扩展到一组有限的、具有较好的时频局部化的基函数上，表征这些基函数的参数包含了被分析信号的局部时频特征信息。相应的时频分布有较高的时频分辨率，而且对于多分量信号，自适应时频分布无交叉项的干扰。

S.Qian和Mallat提出的分解方法区别在于基原子的不同，S.Qian和D.Chen提出了基于高斯型基函数的自适应投影信号分解法。它采用一组经过时移、频移的高斯基原子集，根据信号在基函数上的最大投影来逐个自适应寻找最优基函数，即逐个搜索与信号特性最相近的基函数，从而完成信号的分解。S.Qian提出的基于高斯型基函数的自适应投影信号分解法的不足之处是基原子的频率不变，对大多数变频信号，无法进行有效的自适应匹配，这样既影响分解结果反映真实信号的能力，又增加了计算量。Yin等提出了采用线性调频的高斯信号作为分解基集，从而使参数由三维扩展为四维，对基函数实施尺度、时移、频移和旋转操作后与信号作内积，使原子集与信号的匹配性能更优，但由于指标集是四维的，最优基的遍历搜索较困难。之后，又出现了自适应Chirp分解方法，将匹配参数上升至五维，计算更加复杂。

Mallat提出的匹配追踪方法基本原理与此类似，只是匹配追踪法的原子集为一组经过时移、频移的小波基函数，时频原子的类型由三个参数确定：尺度、频率和平移参数。这些原子可在时域和频域上很好地定位，根据不同类型原子的选择方式，信号分解有不同的特性。该算法首先在原子集中选择与信号最匹配的原子，使剩余量最小，接着用同样的思路对剩余量分解，找出最佳匹配原子，如此分解下去，得到对信号的自适应分解。之后，在Mallat基函数的基础上发展了小波包字典，字典是基函数的扩展，是参数化波形函数的集合，小波包字典包括标准的正交小波字典、Dirac字典、余弦字典等。该方法可获得优于小波包分解的时频分布。最大投影匹配追踪法有很多优良的性质：较高的时频分辨率，暂态结构的局部自适应性，信号结构的参数表示，算法对局部结构的自适应性，可描述相对较弱的暂态分量，分析时无需事先划分频带，更具客观性。但本文研究发现，这几种字典也存在缺陷，当信号中有突变成分时，余弦原子无法匹配冲击信号；小波包字典虽然可以匹配冲击成分，但由于匹配中小波原子频带能量的泄漏与交叠，致使时频分布中出现了虚假频率。这是因为理论上二进制小波提供了一种理想的频带划分情况，但以Morlet小波为例，其频域窗内的能量为整个窗口能量的84.48%，所以这个窗口内的能量必然扩散到其他频段，同时其他频段的能量也会渗透到这一频段内，可见小波分析各尺度之间存在频域混叠现象。因此以此类小波为基础的匹配追踪自适应分解方法就会存在频带混叠、出现虚假频率的问题。

1.2.2.2　基追踪方法

S.S.Chen等提出一种基追踪方法，基追踪原子分解算法就是在给定的库中寻找一个分解式，使分解系数的范数最小，它通过一个凸非二次优化来得到分解的最优解。基追踪方法是信号稀疏表示领域的一种新方法，它寻求从完备（或过完备）的函数基集合中得到信号的最稀疏表示，即用尽可能少的基精确地表示原信号，从而获得信号的内在本质特性。基追踪方法采用表示系数的范数作为信号稀疏性的度量，通过最小化l1范数将信号稀疏表示问题定义为一类有约束的极值问题，进而转化为线性规划问题进行求解。

基追踪方法使用了一种新的线性规划算法——内点算法，要在所有的字典向量中极小化一个全局目标函数，计算量很大。因为求解大尺度线性规划问题较困难，目前的基追踪方法仅局限于一维信号的去噪和超分辨处理。

1.2.2.3　经验模态分解法

1998年美国国家航空航天局的Norden E.Huang首次提出了经验模态分解方法（Empirical Mode Decomposition，简称EMD），主要思想是把一个时间序列的信号分解成一组稳态和线性的数据序列集，即本征模函数。所谓本征模函数，必须满足两个条件：（1）对于一列数据，极值点和过零点数目必须相等或至多相差一点；（2）在任意点，由局部极大点构成的包络线和局部极小点构成的包络线的平均值为零。每个本征模函数序列都是单组分的，即序列的每一点只有一个瞬时频率，无其他频率组分的叠加。EMD方法是一种自适应的信号分解方法，它可以将复杂的多分量信号自适应地分解为若干个瞬时频率具有物理意义的IMF（Intrinsic Mode Function，简称IMF）分量之和，从而得到原始信号完整的时频分布。但是EMD方法在理论上还存在一些问题，如EMD方法中的过包络、欠包络、模态混淆和端点效应问题，这些问题仍然处在研究当中。

1.2.3　基于参数模型法的时频分析方法

时间序列分析是采用参数模型对所观察到的有序随机数据进行分析和处理的一种数据处理方法，简称时序分析。时序模型以机械设备工作时的动态过程为研究对象，采用时序分析方法对系统输出数据建立参数模型，可以将参数模型与系统分析直接紧密结合，认识系统的固有特性，从中分析和寻找系统的变化特征和发展趋势。

在时间序列的参数模型中，有自回归滑动平均模型、双线性模型、门限自回归模型、指数自回归模型、状态依赖模型等。工程上最常用的是自回归模型，简称AR模型。AR模型的模型参数凝聚了系统状态的重要信息，准确的AR模型能够深刻集中地表达动态系统的客观规律，具有对短序列建模的能力以及快速计算的特点。该参数模型法的分辨率不受采样频率和采样点数的限制，特别适用于短数据序列的谱估计，可获得高的谱分辨率。

平稳随机过程的参数模型是常参数模型，对非平稳随机信号，当所取的短数据序列是沿整个信号序列滑动而得时，就形成了信号的自适应谱。在综合考虑模型参数估计的计算速度、算法的简单性以及效率等因素后，人们常首选非平稳信号的时变AR建模以及模型参数估计算法。非平稳随机过程的时变参数估计方法中，最简单的一种方法是当过程不是远非平稳时，可用自适应算法（递归误差预测法、梯度算法、最小二乘算法等）来计算。若时变参数变化非常快，则自适应算法将不能跟踪参数变化而失效。

较常用的时变参数估计方法是将参数作为一些已知函数（基函数）的线性加权组合进行近似，将线性非平稳时变问题转化为线性平稳时不变问题。与假设在一段时间间隔上信号是平稳的参数估计方法相比，时变参数模型法可以进一步提高参数估计的精确度。常用的基函数有二阶展开式，还有勒让德（Legendre）多项式、傅里叶基、离散长球面波序列等。与平稳情况相比，求解非平稳随机信号模型时变参数所需的计算量会显著增加。