第3讲 实际问题与一元二次方程
提分导练
提分点一 增长率、降低率问题
【例1】为进一步发展基础教育，自2016年以来，某县加大了教育经费的投入，2016年该县投入教育经费6000万元．2018年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．
（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你算出2019年该县投入的教育经费．
提示：（1）本题的等量关系：2016年教育经费×（1+年平均增长率）2=2018年教育经费；（2）本问涉及的数量关系：2018年的教育经费×（1+增长率）=2019年的教育经费．
解答：（1）设该县投入教育经费的年平均增长率为x.则有
6000(1+x)2=8640.
解得x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意舍去）.
答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%.
（2）因为2018年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，所以2019年该县投入教育经费为8640×（1+0.2）=10368（万元）.
【总结】此类问题容易出错的地方是①审题不到位，看不出题目中反映全部含义的相等关系；②忽视检验方程的解是否符合实际问题．
【类题训练】
1．（模考·成都）某楼盘准备以每平方米15000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是（ ）.
A．8%
B．9%
C．10%
D．11%
2．（中考·大同）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为__________.
3．2016年某市出口贸易总值为22.52亿美元，至2018年出口贸易总值达到50.67亿美元，反映了两年来某市出口贸易的高速增长．
（1）求这两年某市出口贸易的年平均增长率；
（2）按这样的速度增长，请你预测2019年某市的出口贸易总值．
提分点二 利润问题
【例2】暖心花店将进货价为20元/盒的百合，在市场参考价28～38元的范围内定价为36元/盒，这样平均每天可售出40盒．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每盒下调1元钱，平均每天就能多销售10盒，要使每天的利润达到750元，应将每盒的售价下调多少元？
提示：本题的等量关系是“每盒的利润×销售盒数=750元”.
解答：设每盒的售价下调x元，则每盒利润为（36-20-x）元，依题意列方程得
(36-20-x)(40+10x)=750.
解得x1=1，x2=11.
∵市场参考价为28至38元，
∴x=11不合题意，舍去．∴x=1.
答：要使每天的利润达到750元，每盒的售价应下调1元．
【总结】利润问题可用列表方法进行整理．
【类题训练】
4．（中考·泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出方程是（ ）.
A．(3+x)(4-0.5x)=15
B．(x+3)(4+0.5x)=15
C．(x+4)(3-0.5x)=15
D．(x+1)(4-0.5x)=15
5．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，售价为52元时，可售出180个．售价每增加1元，销售量净减少10个；售价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？售价多少元？6.某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为275万元？
提分点三 几何图形问题
【例3】（模考·长沙）长沙市计划聘请甲、乙两个工程队对桂花公园进行绿化．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队的2倍；若两队分别各完成300m2的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成的绿化的面积；
（2）该项绿化工程中有一块长20m、宽8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图3-1所示），问人行通道的宽度是多少米？
图3-1
提示：（1）利用若两队分别各完成300m2的绿化时，甲队比乙队少用3天这一等量关系列出分式方程求解即可；
（2）根据矩形的面积和为56m2列出一元二次方程求解即可．
解答：（1）设乙队每天绿化xm2，则甲每天绿化2xm2，根据题意得
=3,
解得x=50.
经检验x=50是原方程的根，
所以2x=100.
答：甲队每天绿化100m2，乙队每天绿化50m2；
（2）设人行道的宽度为am，根据题意得
(20-3a)(8-2a)=56,
解得a=2或
＞8（不合题意，舍去）.
答：人行道的宽为2m.
【总结】解答此类面积型问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解．也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．
【类题训练】
7．（中考·衡阳）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900m2的矩形绿地，并且长比宽多10m.设绿地的宽为xm，根据题意，可列方程为（ ）.
A．x(x-10)=900
B．x(x+10)=900
C．10(x+10)=900
D．2[x+(x+10)]=900
8．（月考·武汉）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃，其中一边靠墙，另外三边用长为30m的篱笆围成，已知墙长为18m（如图3-2所示），设这个苗圃垂直于墙的一边的长为xm.若苗圃的面积为72m2，则x为（ ）m.
图3-2
A．12
B．10
C．15
D．8
9．某村计划建造如图3-3所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1，在温室内沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288m2？
图3-3
提分检测
1．（中考·天津）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）.
A．
=28
B．
=28
C．x(x+1)=28
D．x(x-1)=28
2．（中考·日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2016年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2018年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ）.
A．20%
B．40%
C．-220%
D．30%
3．（中考·佛山）如图3-4所示，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（ ）.
图3-4
A．7m
B．8m
C．9m
D．10m
4．（期末·自贡）某商店现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，在顾客得较大实惠的前提下，商家还想获得6080元利润，应将销售单价定为（ ）.
A．56元
B．57元
C．59元
D．57元或59元
5．（中考·宿迁）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是__________m.
6．（期末·秦皇岛）如图3-5所示，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q同时出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t=__________s.
图3-5
7．（模考·南京）某地区2016年投入教育经费2500万元，2018年投入教育经费3025万元，求2016年至2018年该地区投入教育经费的年平均增长率．
8．（月考·上海浦东）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，为了扩大销量，尽快减少库存，超市准备适当降价，据测算，若每箱降价2元，则每天可多售出4箱．
（1）如果要使每天销售该饮料获利14000元，则每箱应降价多少元？
（2）每天销售该饮料获利能达到14500元吗？若能，则每箱应降价多少？若不能，请说明理由．
9．（月考·重庆）华为手机与苹果手机深受消费者喜爱，某商户每周都用25000元购进250张华为手机壳和150张苹果手机壳．
（1）商户在第一周销售时，每张华为手机壳的售价比每张苹果手机壳的售价的2倍少10元，且两种手机壳在一周之内全部售完，总盈利为5000元，商户销售苹果手机壳的价格每张多少元？
（2）商户在第二周销售时，受到各种因素的影响，每张华为手机壳的售价比第一周增加了
，但华为手机壳的销售量比第一周华为手机壳的销售量下降了a%；每张苹果手机壳的售价比第一周下降了a%，但苹果手机壳销售量与第一周苹果手机壳销售量相同，结果第二周的总销售额为30000元，求a（a＞0）的值．
高分必练
1．有甲、乙两容积均为20L的容器，甲容器内装满纯酒精，而乙为空容器．自甲内倒出若干酒精到乙内，再将乙其余部分注满水，将此混合溶液注满甲容器，最后自甲容器回注乙容器
，则两容器内所含纯酒精量相等，问第一次自甲容器倒出多少升酒精？
2．为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过xt，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过xt，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨
元交费．
（1）该单元居民8月份用水80t，超过了规__________元定的xt，则超过部分应交水费（用含x的式子表示）.
（2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况：
根据上表的数据，求该水厂规定的xt是多少？
3．（自招·重庆）巴蜀中学在夏天到来之际，因为很多学生需要更换夏季校服，所以欲购买校服T恤．男生的T恤每件价格50元，女生的T恤每件价格45元，第一批共购买600件．
（1）第一批购买的校服的总费用不超过28000元，求女生T恤最少购买多少件？
（2）第二批购买校服，男生、女生购买校服的件数比为3∶2，价格与第一批的价格保持不变；第三批购买男生校服的价格在第一批购买的价格上每件减少了
元，女生校服的价格比第一批购买的价格上每件增加了
元，男生T恤的数量比第二批增加了m%，女生T恤的数量比第二批减少了m%，第二批与第三批购买校服的总费用相同，求m的值．