2.4　单自由度系统的强迫振动

本节主要研究简谐激振所引起的系统的各种不同响应，特别是当激振的频率与系统的固有频率相等时出现的“共振”现象。虽然在实际问题中简谐激振比其他周期性或非周期性振动来说是较少的，但它揭示的一些规律和特性具有普遍意义，是分析研究更一般、更复杂振动问题的基础。对于任意周期函数的激振可按傅里叶级数展开为不同频率的简谐激振，然后用线性系统叠加原理来求其总的响应。最后再讨论任意激振的响应。

2.4.1　简谐激振力引起的强迫振动

1.运动微分方程及求解

图2.27为单自由度系统受简谐激振力的力学模型。简谐力F=F0sinω0t，ω0为激振频率，则系统运动微分方程分为

上式坐标原点在静平衡位置。方程（2.35）之解可以表示为

x（t）=x1（t）+x2（t）

其中x1（t）为通解，x2（t）为特解。在弱阻尼情况下，由上节知

x1（t）=e-ζωt（D1cosω't+D2sinω't）

x2（t）为方程的特解，令其形式为

x2（t）=Bsin（ω0t-φ）　　（2.36）

为求B和φ，将x2（t）及其一阶、二阶导数代入式（2.35），整理得

令ω0/ω=λ，称为频率比，则

式（2.37）可改写为

于是得系统的响应为

相应地可求出相位角φ

系统的稳态响应在相位上比激振力滞后φ角，其原因是系统存在着阻尼。若没有阻尼，即ζ=0，则φ=0，此时激振力与响应同相位。

分析式（2.38）、式（2.39）和式（2.40），可得到强迫振动的一些带有普遍性质的特点：

（1）在简谐激振力作用下，强迫振动是简谐振动。振动的频率与激振力的频率ω0相同。

（2）强迫振动的振幅B和相位差φ都只决定于系统本身的物理性质和激振力的大小与频率，而与初始条件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。

（3）影响强迫振动振幅的各种因素。记

则式（2.38）可改写为

由上式知影响因素有三个，即B0、λ和ζ。

B0的影响反映了激振力的影响。因此，改变振幅方法之一就是改变激振力的幅值。

λ对振幅影响大，可以从下面所画的幅频响应曲线看出。为此将式（2.41）改写为

β称为动力放大系数。确定机械系统在其工作条件下的动力放大系数是进行动态分析的重要内容之一。为了观察系统的影响特性，以频率比λ为横坐标、β为纵坐标和以阻尼比ζ为参数画出它们之间的关系图，可以得到如图2.28所示的一组曲线，称为幅频响应曲线。

从幅频曲线中可以看出：

（1）λ≪1时，即激振力频率ω0远小于系统的固有频率ω时，无论阻尼的大小如何，动力放大系数β=B/B0→1，B→F0/k，即振幅近似地等于激振力幅值F0作用下的静位移，这个区域内振幅B主要由弹簧常数k控制，故称为“弹性控制区”。

（2）λ≫1时，即ω0远大于ω时，无论阻尼大小如何，β→0（实际上λ→3时即是这种情况），此时，可见振幅的大小主要决定于系统的惯性。因此，这一区域称为“惯性控制区”。这对某些要求启动次数不多的高速旋转机械具有重要意义，只要在通过共振区后就有了抑制振幅的预防措施，因在越过共振区到达高速旋转时，其振幅反而很小，旋转更趋平稳。

（3）λ≈1时，即ω0接近ω时，振幅大小与阻尼情况极为密切。在ζ较小的情况下，振幅B可以很大，在ζ→0的情况下，振幅B趋向无穷大。因为ω0≈ω，故，可见惯性力和弹性力基本平衡，从而近似地有激振力与阻尼力相平衡，即有Bcω0≈F0。因此阻尼对系统响应有着决定性影响，振幅B的大小随阻尼c而定，故这一区域称为“阻尼控制区”。

通常我们把激振力频率ω0与系统固有频率ω相等时的振动称为共振。实际上当有阻尼作用时，振幅最大并不在ω0=ω处，对式（2.42）求极值可得

由式（2.43）可知，响应的峰值出现在ω0比ω略小的地方（与ζ的数值有关）。在实际上，阻尼往往比较小（例如ζ=0.05～0.20），ω0≈ω，所以一般以ω0=ω作为共振频率。

相对阻尼系数ζ对振幅的影响，从幅频响应曲线可以看出阻尼在共振附近一定范围内，对减小振幅有显著作用，增加阻尼，振幅可以明显下降。

在共振时，λ=1，振幅由式（2.41）知

在离开共振稍远的范围，阻尼对减小振幅的作用是不大的，尤其当ω0≫ω时，阻尼对振幅几乎没有什么影响。

（4）共振时的动力放大系数称为“品质因子”，以符号Q表示（引用电子工程术语）。由式（2.42）知，当λ=1时

在图2.29中，频率比为λ=1的虚线两侧，曲线可以近似地认为是对称的，作的一条水平线与响应曲线交于q1和q2两点（称为半功率点），其对应的频率比为λ1和λ2。对于半功率点q1和q2，由式（2.42）与式（2.44）得

从上式可解出两个根λ1=1-ζ，λ2=1+ζ，这里λ1、λ2就是半功率点的横坐标，λ2-λ1=2ζ称为系统的带宽，于是Q值亦可表示为

当阻尼大时，带宽就宽，过共振时振幅变化平缓，振幅较小；反之，阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较陡，振幅较大。所以品质因子反映了系统阻尼强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机械系统中，为了使过共振时比较平稳，希望Q值小些。式（2.45）提供了由试验估算系统阻尼比ζ的方法，当Q>5或ζ<0.1时，其误差不超过3％。

半功率点q1及q2处的相位角由式（2.40）估算如下：

φ1=45°

φ2=135°

（5）相位差φ与频率比λ及ζ的关系也可以用图2.30的一组曲线表示，称为相位频率响应曲线。

①当λ=1，即共振时，不管系统的阻尼如何，响应总是滞后于激振力90°。

②若ζ=0，相位角仅是0°或180°。相位在共振点前后发生突变。

③若ζ>0，则φ随λ增大而逐渐增大，不会发生突变，但在共振点（即λ=1处），特别当ζ较小时，相位角φ变化较大。

在振动测试过程中，常应用共振点前后相位角φ有较大变形的现象来确定系统的共振点。

2.系统初始阶段的响应

在简谐激振力作用下系统的总响应为

x（t）=x1（t）+x2（t）=Ae-ζωtsin（ω't+φ）+Bsin（w0t-φ）　　（2.46）

这是由两种具有不同频率和振幅的简谐运动叠加而成的比较复杂的运动。图2.31中实线表示某种情况下两种运动叠加的结果。虚线表示等幅振动。经过一段时间后，实线逐渐与虚线相重合而成为单纯的稳态振动。

必须注意的是：式（2.46）中的积分常数A、φ虽然仍由初始条件确定，但在此情况下不能按自由振动得到的积分常数直接代入。因为在强迫振动情况下，即使初始位移和初始速度均为零，而在响应中仍包含有瞬态部分，因此积分常数必须与稳态解一起考虑。为了说明这个问题，我们姑且略去系统的阻尼，将式（2.46）改写为

设t=0时，x=0，，对上式求导并代入初始条件得

代回式（2.47），得

由此可见，强迫振动即使在系统的初始位移和初始速度均为零时，在激振力作用下仍存在着瞬态响应，即上式等号右端括号中的第二项，在有阻尼的情况下，此项数值将逐渐趋向于零。当系统的固有频率比较低时，瞬态振动振幅就可能比较大，而且在较长时间内不易衰减下去。所以在实验中测定强迫振动振幅时，应该在启动一段时间稳定以后再测量，否则就可能测到的是两部分振动之和。

如果初始条件为t=0，x=x0，，则由式（2.46），在简谐激振力作用下系统初始阶段的响应为

x=Ae-ζωtsin（ω't+φ）+Bsin（ω0t-φ）

其中

现研究激振力频率ω0等于或接近于系统的自由振动频率ω的情况，引入

ω-ω0=2ε

考虑式（2.48），当ε很小时，则

由于式（2.50）中ε很小，故sinεt变化缓慢，周期2π/ε很大。式（2.50）可看成代表周期为2π/ω、可变振幅等于（F0/2εmω）sinεt的振动。这种特殊现象称为拍，按图2.32中的拍规律变化时，拍的周期为π/ε。

当ω0接近ω时（或当ε→0）

上式说明共振时，如无阻尼，振幅将随时间无限增大，拍的周期成为无穷大，如图2.33所示。

【例2.17】　如图2.26所示的系统，若m=20kg，k=8kN/m，c=130N·s/m，受到F（t）=24sin15t（N）的激振力作用。设t=0时，x（0）=0，。求系统的稳态响应、瞬态响应和总响应。

系统的稳态响应由式（2.39）有

瞬态响应为

x1（t）=Ae-ζωtsin（ω't+φ）=Ae-3.25tsin（19.73t+φ）

总响应为

x（t）=Ae-3.25tsin（19.73t+φ）+6sin（15t-29.12°）　　（a）

根据已知初始条件：

得

A=3.31，φ=61.82°

将A、φ值代入式（a），于是求得总响应为

x（t）=3.31e-3.25tsin（19.73t+61.82°）+6sin（15t-29.12°）（mm）

2.4.2　偏心质量引起的强迫振动

设机器的总质量为M，其中转子质量为m，转子质心到转轴距离（即偏心距）为e，转子以角速度ω0转动，机器通过弹簧与阻尼器安装在基础上。设由于约束的限制，机器只能沿铅直方向运动，如图2.34（a）所示。

设x（t）为非转动部分的质量（M-m）自静平衡起的垂直位移，则m的垂直位移为：x（t）+esinω0t。根据牛顿第二定律可列出系统的运动微分方程如下：

整理得

式中 为因转子失衡而产生的激振力的幅值，其等效系统如图2.34（b）所示。

比较式（2.35）与式（2.51）知，只要用取代F0，则前面的分析皆适用。系统的稳态强迫振动为

x=Bsin（ω0t-ψ）

且有

根据式（2.52）可画出与λ的关系曲线如图2.35所示。

由图2.35可知：

（1）当λ→0，，即动态响应为零，这是因为ω0→0时，自然就不产生振动了。

（2）当λ=1，，这时（小阻尼）出现共振，ψ=90°，也就是说，当整个系统向上运动通过静平衡位置时，偏心质量正好处于旋转中心的正上方，因此，可用试验方法来测定系统的固有频率。

（3）当λ≫1时，，即，这说明在超越临界转速后运转时，系统的响应与频率及阻尼无关，且振幅保持为一个常数。相位角ψ=180°，也就是说整个系统向上运动到最高位置时，偏心质量正好在旋转中心的最下方。

2.4.3　支承运动引起的强迫振动

系统振动在不少情况下是由支承运动引起的。如地面的振动会引起它上面机器的振动，汽车驶过不平的路面产生的振动等。图2.36所示为在支承运动下的强迫振动模型。

设y（t）和x（t）分别为基础和质量的位移，它们间的相对位移z=x-y，以质量块为研究对象，由牛顿第二定律得

以z=x-y代入上式，并设支承点作简谐运动：y=asinω0t，则

式（2.54）与式（2.51）类似，其稳态响应为

z=Bsin（ω0t-φ）

其响应曲线与图2.35类似，只需把图2.35中的纵坐标改为B/a就行了。

若用质量块的绝对运动x来表示，则运动微分方程为

可见支承运动时相当于系统上作用了两个激振力。一个是经过弹簧传递过来的ky，另一个是 。两者相位不同，前者与y同向，后者超前90°，与 同向。

设式（2.55）的解为x=Bsin（ω0t-φ），则可求得

动力放大系数为

按照式（2.56）、式（2.57），可以描出幅频响应曲线和相频响应曲线，如图2.37所示。

分析上述公式与图2.37可知：

当λ→0即ω0→0时，β=1，φ=0。这时质量块相对于支承几乎没有运动。

当λ→1时，响应大小取决于系统的阻尼比ζ。且阻尼较小时，β有极值，系统发生共振。

当时，不论ζ为何值，都有β=1。

当时，振幅B小于支承运动的振幅a，而且阻尼大的系统比阻尼小的系统振幅反而要稍大些。

当时，B/a≈0，质量块几乎不动，这说明支承的运动对重物影响极小。

2.4.4　隔振原理

隔振是在物体与支承面之间加入弹性衬垫（如弹簧、橡胶垫、软木块等），以隔离振动。它分主动隔振和被动隔振两种情况。

1.主动隔振

机器本身是振源，使它与地基隔离开来，以减少它对周围的影响，称主动隔振。例如把机器安装在较大的基础上，在基础与地基之间设置若干橡胶隔振器就是一种常用的主动隔离措施。

主动隔离效果用主动隔振系数η1表示：

图2.38（a）表示质量块m未加隔振装置，其上作用有简谐干扰力F=F0sinω0t，显然传到地基上的力幅是F0。加隔振装置后，如图2.38（b）所示，传到地基上的力为弹簧作用的力Fk与阻尼器作用的力Fc之和。

Fk=kx=kBsin（ω0t-φ）

这两部分力的频率相同，均为ω0，用旋转矢量表示如图2.38（c）所示。它们的合力最大值为

由式（2.41）可知，在激振力F=F0sinω0t作用下，系统稳态响应振幅为

代入式（2.58）有

于是得主动隔振系数

由于上式右端与式（2.57）右端完全相同，所以将图2.37中的纵坐标β改为η1，就成为当阻尼比ζ为不同数值时主动隔振系数η1与频率比λ的关系曲线。

隔振系数越小，隔振效果越好。显然，只有η1<1，隔振才有意义。令η1<1，得

1+（2ζλ）2<（1-λ2）2+（2ζλ）2

故　　1-λ2>1或1-λ2<-1

第一个不等式不成立，由第二个不等式得

故只有当 时，才有隔振效果。由图2.37可见，η1值随λ增加而下降，故设计支承弹簧时以刚度k小些为好。如果弹簧刚度过小，以致 ，则η1>1，这时传给地基的力比不用隔振弹簧时还要大。

还应指出，当时，η1值随阻尼ζ增加而变大，故如盲目增大阻尼，将反而使隔振效果变差。

2.被动隔振

为了使外界振动少传到系统中来所采取的隔振措施称为被动隔振。其隔振效果用被动隔振系数η2表示

设振源振动是简谐的，y=asinω0t，则隔振后物块的振幅为

从而得被动隔振系数

由式（2.59）和式（2.60）可知，无论是主动隔振还是被动隔振，虽然概念不同，但隔振系数与频率的变化规律却是相同的，主动隔振时η1的讨论也适用于被动隔振。

【例2.18】　一台电动机质量为31kg，转速n=2970r/min，在电动机与基础之间加有弹性衬垫，阻尼不计。要使传到基础上的力为不平衡力的1/10，问弹性衬垫的刚度系数k应为多少。

【解】　令式（2.59）中ζ=0，则得不计阻尼时的隔振系数为

2.4.5　测振原理

测量振动用的仪器有测量振幅、振速和振动加速度3种类型，它们的基本原理都是应用本章所述的强迫振动理论。图2.39为机械式测振仪的原理图，它的基本部分由弹簧k、质量m、阻尼c和机械式记录器组成，其外壳固定在被测物体上与其一起振动。

设y、x分别为被测物体和仪器质量m的位移，在记录器转筒上所记录的则是它们的相对位移（x-y），这与图2.36所示的系统相似。

设　y=asinω0t，z=x-y

稳态强迫振动为　　z=Bsin（ω0t-φ）

对各个不同的ζ值，B/a与λ的关系如图2.40（与图2.35类同）所示。

上述惯性式测振仪有两种，一种是测定位移的，一种是测定加速度的。

1.位移计

当λ≫1，即ω0≫ω时，B/a≈1，而这时φ≈π，所以

z=asin（ω0t-π）=-asinω0t

上式说明记录所得的相对运动的振幅与频率与被测物体的振幅与频率都相同，只是位相相反。这时x=y+z≈0，重物在空间几乎不动。

为了扩大仪器的使用范围，应使B/a≈1的范围尽量加大。

由于位移计必须ω0≫ω，所以它是一种低固有频率的仪器，其体积大而且比较笨重，适用于测量大型机器的振动和地震等。对重量不大的振动物体的测振结果影响较大，测量范围小。

2.加速度计

当λ≪1，即ω0≪ω时，式（2.61）的分母接近于1，因而

因为加速度计体积小，质量轻，仪器本身的质量对测量结果的影响也比较小，所以工程上现在已广泛使用加速度计。

为了使测量结果准确，需尽量使接近于1。λ与β、ζ的关系见图2.28。为了便于分析比较，将图2.28中λ<1的部分放大画出图2.41。图中曲线表明，要扩大频率使用范围，应选择适当的阻尼，在ζ=0.65～0.70，λ=0～0.4时，β≈1，误差小于0.1％。因此阻尼的合理选择可以提高加速度计的频率使用范围。

此外，以上两种测振仪都需要利用阻尼消除自由振动，使仪器工作时，能迅速稳定，这一点对测振仪是很重要的，尤其在测量冲击和瞬态振动时更为重要。ζ过小的测振仪是很难使用的，由于测振仪初始的自由振动长时间不衰减，如叠加到被测量中，分析起来很困难。

3.加速度计的相位矢量

由式（2.61）可知，加速度计指针所示的值与被测振动物体运动之间有相位差φ。φ与λ的关系如图2.30的响应曲线所表示。一般说φ与λ的变化规律是非线性的，在测量由若干简谐函数叠加而成的非简谐周期振动时，会造成波形畸变（或相位畸变）。要避免这种畸变，则要求所测量的各次简谐波的相位角皆为零或者是使每一简谐波的相位角φ的变化必须与频率比λ的变化成正比关系，即线性变化。在图2.30中，当ζ=0.7时，在0<λ<1的范围内φ与λ的关系是接近于直线的，此时。所以当ζ=0或ζ=0.7时，相位失真可被消除。图2.42（a）是由两个简谐波y1（t）和y2（t）组成的激振信号y（t），即

y（t）=y1（t）+y2（t）=a1sinω01t+a2sinω02t

图2.42（b）为输出信号，由于两个简谐波间的相位角变动，使合成后的周期信号畸变。

用加速度计对该激振信号y（t）进行检测时，加速度计的输出为

z=z1（t）+z2（t）

=B1sin（ω01t-φ1）+B2sin（ω02t-φ2）

当加速度计的阻尼比ζ=0.7时

上式右端两项中 相同，所以两个组成波在时间上位移相同，从而使加速度计得以不失真地再现了被测物体的振动加速度。显然，若φ1=φ2=0，所得信号也是不失真的，但这是理想情况，实际上，阻尼不可能为零，即不可能出现φ1=φ2=0的情况。

由此可见，采用阻尼比ζ=0.7不仅有利于扩大加速度计的使用频率范围，还有利于相位不失真。所以，阻尼的选择在测振仪中是一个重要问题。

2.4.6　简谐激振力的功

1.简谐激振力在一个周期内所作的功

设作用在系统质量块上的简谐激振力为

F=F0sinω0t

系统作简谐强迫振动，其位移为

x=Bsin（ω0t-φ）

激振力F在微小位移dx上所作之功为

于是在一个周期内，即由t=0到 ，激振力所作之功为

可见，简谐激振力在一周所作的功，除取决于力与振幅大小之外，还取决于两者之间的相位差。当位移与激振力同相位时（φ=0或相位差φ=180°），其功为零，当有阻尼时，φ≠0，φ≠180°，激振力在每周中总是要作一定量的功的。若把力与位移都用旋转矢量表示，如图2.43所示。再把F0分解为F1与F2两个分力，F1与位移同相位，F2超前位移90°。只有与位移有90°相位差的分力才在一个周期内作功，与位移同相位的分力不作功。

对无阻尼的强迫振动，位移与激振力之间的相位差φ不是零就是180°（ω0=ω，共振时除外），因此外力在一周之内所作的功WF=0，必然是稳态振动。当共振时，激振力超前位移90°，每一周期内外力所作之功

WF=πF0Bsin90°=πF0B

每经一周期，系统从激振力获得的能量值为πF0B，使振幅有一增量，这样随时间的延续，振幅必愈来愈大。

下面讨论简谐力与简谐振动的频率不同时的作功情况。

设简谐力与简谐振动分别为

F=F0sin nω0t

x=Bsin（mω0t-φ）

式中m与n都是整数，ω0是两者圆频率的公约数。

在一个周期内，简谐力在简谐振动位移上所作的功为

利用三角函数族的正交性可以证明，当m≠n时，上式右边的积分结果为零，即在一个周期内简谐力在与它不同频率的简谐振动上所作功的和是零。当m=n时，又成为简谐力在与之作同频率简谐振动系统上作功的问题。在一周期内简谐力所作之功显然为

WF=nπF0Bsinφ，m=n

2.黏性阻尼力在一个周期内所消耗的能量（即一个周期内所作的功）

对于黏性阻尼力

系统作简谐振动时，有

x=Bsin（ω0t-φ）

Fc=cBω0cos（ω0t-φ）

所以阻尼力也是一种简谐力，它与位移相比落后90°的相位差。它在一个周期内所作的功为

可见，黏性阻尼力所作的功与振幅的平方、激振力的频率成正比。若阻尼所作的功（即所消耗的能量）与激振力所作的功（即所输入的能量）相等，则由式（2.62）和式（2.63）得

cBω0=F0sinφ

相应地有

Wc=πcB2ω0=πF0Bsinφ=WF

在共振时，相位角φ=90°，从上式即可得到激振力等于阻尼力，即

F0=cBω0

这时激振力每周所作的功最大，阻尼力所消耗的能量也最大

2.4.7　任意周期激励的响应

前面所讨论的问题都是在振动系统上作用有一个简谐激振力或系统支承只有一种简谐运动所引起的强迫振动。而在许多情况下，系统上受到的是一种非简谐的周期性激振力或系统支承是复杂运动的作用。任意一个周期激振函数，一般情况下根据傅里叶级数都可分解为一系列不同频率的简谐函数。对这些不同频率的简谐激振求出各自的响应，然后根据线性系统的叠加原理把这些响应一一叠加起来，其结果就是周期激振函数的响应。

对于任意周期激振力F（t），根据傅里叶级数可分解为

式中ω0称激振力的基频 ，T为激振函数的周期，a0、aj、bj为傅里叶系数。只要F（t）为一个已知函数式，a0、aj、bj就可以用下述方法确定。求a0时将式（2.64）的两边都乘以dt；求aj时两边都乘以cosjω0tdt；求bj时两边都乘以sinjω0tdt。然后依次在t=0到t=T一个周期内逐项积分，利用三角函数的正交性：

使上述逐项积分的结果在等式右边除i=j的一项外，其余各项都等于零，从而得到

一个有阻尼的弹簧—质量系统在周期激振力F（t）作用下的微分方程为

式中第一项a0/2表示一个常力，它只影响系统的静平衡位置。只要坐标原点取在静平衡位置，此常数项就不出现在微分方程中，下面就不再记入这一项。

运用求简谐激振响应的方法及叠加原理，即可写出系统的响应力：

式中 。ζ值较小时可以忽略不计，则φj=0，有

式（2.65）又可以表示为

Ajsin（jω0t+αj）称为F（t）的第j阶谐波。由式（2.67）可见，周期为T的干扰力可以看成由频率为ω0的基波和频率为ω0的整倍数（2ω0、3ω0…等）各高阶谐波之和。

若把式（2.67）中的常力a0/2借原点的适当移动消除，则系统的稳态振动为

式中

比较式（2.67）和式（2.68）可见，干扰力的各阶谐波均引起相应的同频率强迫振动。式（2.69）的第一式表明：当干扰力的任一谐波频率与固有频率相等，即jω0（j=1，2…）=ω时，系统都将发生共振。当ω=ω0和ω=2ω0…时，所发生的共振分别称为一阶共振、二阶共振……。由于高阶共振振幅很小，因此在实际问题中，只考虑几个低阶共振就可以了。

任意周期激励F（t）也可用指数傅里叶级数的形式来表示。将式（2.65）的一般项改写为

ajcosjω0t+bjsinjω0t=Ajsin（jω0t+αj）

其中 。于是F（t）的响应可用下式表示：

式中Hj（ω0）为第j次谐波的复频响应。

其模为

【例2.19】　如图2.44（a）所示的矩形波激励F（t）作用于图（b）的单自由度系统上。设系统的固有频率为，求系统的稳态响应，并画出激励和响应的频谱图。

【解】　先将F（t）分解为各个简谐激励，并计算傅里叶系数。由图2.44（a）可知，激励的均值a0/2=0，其余有

当系统无阻尼，即ζ=0，且，时，系统的响应为

激励F（t）分解为4次谐波及其合成见图2.44（c）。激励频率谱图和响应频谱图见图2.45（a）、（b）。

2.4.8　任意激振的响应

系统在周期激励下的响应包含稳态和瞬态两部分，瞬态响应由于阻尼的存在，而很快衰减，直至消失，所以它是周期性的稳态振动。但在许多实际问题中，对系统的激振并非周期性的，而是任意的时间函数，或者是在极短时间间隔内的冲击作用（如冲击力、地震波等）。在这种激振情况下，系统通常没有稳态振动，而只有瞬态振动。在激振作用停止后，系统按固有频率继续作自由振动。系统在任意激振下的运动状态，包括激振作用停止后的自由振动，称为任意激振的响应。显然冲击作用的时间极短，响应作用的时间也不长，但响应峰值很大，结构、机器可能被破坏或机器瞬时失灵。因此，瞬态振动的研究，对结构和机器工作的安全性和可靠性具有重要的实际意义。

为了工程问题的实用目的，冲击响应问题的求解一般可以用几种简单施力函数响应的组合去近似实际的脉冲响应。系统在冲击之后的振动是自由振动，因此只要求得冲击结束瞬间的系统位移和速度，以后的振动便可按自由振动求解。按这样的方法处理问题，概念清楚，应用方便。下面将首先介绍几种简单施力函数及其组合产生的响应，然后再介绍更一般的方法。

1.几种常见的施力函数的响应

（1）阶跃激励的响应

设一个有阻尼的单自由度系统，在t=0瞬时受一突加载荷F0的作用，此载荷在t≥0时为常数[图2.46（a）]。这种载荷一般称为阶跃载荷。在此载荷作用下，系统必产生振动。振动将围绕物块的静平衡位置进行。物块的运动微分方程为

方程（2.70）的通解由齐次方程的通解和非齐次方程的特解组成。齐次方程的通解前面已求得。方程的特解显然就是F0/k，于是方程（2.70）的通解为

x=e-ζωt（Ccosω't+Dsinω't）+F0/k

在t=0时系统处于静止状态，设坐标原点取在物块静止时的位置上，则有

对通解求导并代入以上初始条件，可得以下两个积分常数：

于是系统的响应为

对于无阻尼系统，ζ=0，则上式简化为

图2.46（b）是方程（2.72）的图解。从图可见，最大位移为静位移的两倍。

（2）斜坡载荷的响应

设一有阻尼单自由度系统，在t=0时开始受到一按直线增长的载荷F（t）=at的作用，如图2.47（a）所示。质量块的运动微分方程为

上式的特解为，于是通解为

设t=0时，，则积分常数为

系统的响应为

对于无阻尼系统，ζ=0，响应变为

图2.47（b）表示无阻尼系统受斜坡载荷激励的响应曲线。从图中可见，响应曲线是围绕倾斜直线上下波动的。倾斜直线是系统静变形增长的直线。振动的振幅为a/kω。

（3）指数衰减载荷的响应

设一阻尼单自由度系统，在t=0时受到突加载荷F0的激励，该载荷随时间作指数函数衰减，即F（t）=F0e-at，如图2.48（a）所示，则系统的运动微分方程为

上式的特解为F0e-at/（ma2-ca+k），其通解则为

设t=0，，则

系统的响应为

对无阻尼系统，系统的响应为

图2.48（b）是方程（2.77）的图解。响应的振幅与衰减指数a的取值关系很大。当a→0时，施力函数衰减很慢，接近于阶跃函数，因而响应近似于式（2.77）。当a→∞时，施力函数立即衰减到零。力的冲量接近于零，系统的速度没有发生变化，因此不可能产生振动。

有些施力函数有时可以表示为上述几种施力函数的叠加，如图2.49所示。图2.49（a）可以看作两个从不同时间开始的斜坡函数的叠加。应用公式（2.75）可得t>t1时系统的响应为

这个结果与叠加法得到的相同。

（4）三角形脉冲的响应

图2.49（c）右侧表示一直角三角形脉冲。

a.把图2.49（c）右侧图看作左侧图所示两个斜坡函数的叠加，应用公式（2.72）得t>t1时的响应为

因a=F0/t1，上式整理后得

b.t<t1时的响应按斜坡函数处理，t>t1时的响应按自由振动处理。t=t1时的位移与速度为

将x0、 作为初始条件代入自由振动公式，得

式中a=F0/t1，代入整理得

两种解法所得结果相同。

（5）半波正弦脉冲的响应

图2.49（d）右侧为半波正弦脉冲。

①把图2.49（d）右侧图看作左侧图所示两个正弦函数的叠加。设t=0时的初速度和初位移均为零。t>t1时响应为

因半波的时间长度为t1，将t1=π/ω0代入上式，有

②t<t1时，响应按简谐激励处理，这时设t=0时的初速度和初位移为零，响应为

t>t1时的响应按自由振动处理，以t=t1时按上式求得的位移和速度为初位移和初速度。把t=t1=π/ω0代入式（2.79b）并求导数，得

把x0、 代入自由振动的响应公式，得

这一结果与用叠加法得到的相同。

2.任意激励的响应

对任意激励的响应，有各种推导方法，这取决于描述激励函数的方式。可将激励看成是持续时间非常短的脉冲的叠加，为了说明这种方法，我们将首先介绍单位脉冲或狄拉克δ函数的概念。单位脉冲的数学定义是，当t≠τ时

δ（t-τ）=0

当t=τ时，有

在t=τ处，作用的单位脉冲以δ（t-τ）表示，函数不为零的时间间隔被限定为无穷小，即图2.50中的ε在极限情况下趋近于零，在此时间间隔内函数的值是不确定的，而曲线下的面积则规定等于1。另外δ函数的单位为s-1，这从式（2.80）中的积分值是无量纲这一点就可以得知。

在理论力学中曾定义一个力的冲量是力F（t）对时间的积分，即

若力F（t）的值非常大但作用时间却很短，那么冲量 仍是有限值，这样的力就称为脉冲力。在时间t=τ时作用的脉冲力可以用δ函数表示为

δ函数还具有如下的重要性质：

若单自由度系统在t=0时受到一脉冲力的激励，那么它的运动微分方程为

若初始条件为零，即，则在极短的时间Δt=ε内，积分上式可写成

方程右侧的积分结果，根据δ函数的性质应为。方程左侧的积分共有三项：

记号是用来表示在时间增量Δt=ε之后速度发生的变化。另外，因为时间Δt非常短，还来不及发生位移，所以x（ε）=0。于是方程（2.82）可写成

实际上，上式也可以从理论力学中讲过的动量定理直接得到：系统动量的变化等于系统所受的力在此时刻的冲量，即。因为系统的速度变化dv就是，所以从动量定理可导出式（2.83）。

系统受这一脉冲力之后的响应可按自由振动处理，系统的响应为

时的响应称为单位脉冲响应，通常用符号h（t）表示：

若单位脉冲力在t=τ时施加，则响应记为h（t-τ），相应的表达式为

现用叠加原理来表示系统受任意激励的响应。设任意激励力F（τ），0≪τ≪t，如图2.51所示，作用在一个有阻尼的弹簧—质量系统上。系统的振动方程为

我们将一任意激励分为很多脉冲力，其中t=τ邻近的微小冲量为F（τ）Δτ，利用单位脉冲响应的公式，由F（τ）Δτ产生的响应为

Δx=F（τ）Δτh（t-τ）

令Δτ→0，把响应叠加起来，并从零到t积分，有

上式所表示的响应，从数学上看，是函数F（t）与h（t）的卷积积分。将式（2.86）代入式（2.88）得

上式表示单自由度系统受任意激励F（t）作用时的系统响应，此式即为杜哈美积分。

注意到由杜哈美积分所得的响应是式（2.87）振动微分方程的全解，它包括了稳态响应和瞬态响应两部分。

在阻尼很小时，即ζ=0，ω'=ω，则

若在t=0时有初速度和初位移x0存在，那么系统的总响应为

忽略阻尼，总响应为

若系统在其支承的运动下振动，而支承运动是任意时间函数y（τ），同样可用杜哈美积分来求系统的解。由支承运动微分方程

上式相当于系统上作用了两个激振力ky和 ，应用线性系统叠加原理，由式（2.89），可得系统的响应为

当支承运动的加速度为任意函数时，则选用系统的相对位移来求解比较方便。现以z=x-y表示质量块的相对位移，则可知系统的运动微分方程为

将 作为激振力，则由式（2.89）得

这样就可根据初始条件计算出支承运动的位移y，就得到系统的总响应为

x=z+y

【例2.20】　设x0=x0=0，求无阻尼弹簧—质量系统对简谐力F（τ）=F0sinω0t的响应。

【解】　将F（τ）=F0sinω0代入式（2.90），有

利用三角积分关系

故得

【例2.21】　设，试用杜哈美积分求无阻尼单自由度系统受斜坡函数力作用的响应。

【解】　将F（τ）=aτ代入式（2.90），有

【例2.22】　图2.52所示箱中有一无阻尼弹簧—质量系统，箱子由高h处静止自由下落，试求：①箱子下落过程中，质量块m相对于箱子的运动x（t）；②箱子落地后传到地面上的Fmax。

【解】　①建立m对箱子的相对运动微分方程。设x为m的相对位移，y为箱子的位移，

则有

m的振动微分方程为

式中ω2=k/m。

由于不计m对箱子下落的影响，即

考虑初始条件t=0时，x0=0， ，由杜哈美积分，得

②由自由落体知箱子下落时间t1为

碰地之前一瞬间，质量块m的相对位移、相对速度为

同时箱子的速度为

碰地时m相对箱子的位移与速度应分别为

碰地后，m相对箱子作自由振动，设其振动规律为x，则

式中

传到地面上的最大力Fmax为