1.4 定点DSP和浮点DSP的数值处理方法

定点DSP是指DSP器件只有一个32位定点中央处理单元（CPU）。浮点DSP是指DSP器件除有一个32位定点CPU外，还有一个32位浮点运算单元（FPU）。因为指令机器码是以二进制定点数形式存放在程序存储器中的，只有定点数CPU才能对指令机器码进行取指、译码、执行。另外，数据存储器、外设寄存器等存储数据格式也是二进制定点数，必须由定点CPU来存取。所以，定点CPU是DSP器件的主运算处理单元。

定点CPU不仅可以运算定点数，也可以运算浮点数，但是运算浮点数比运算定点数速度要慢，这是因为浮点数的运算是两个浮点数在阶码对齐（相等）后两个浮点数尾数的算术运算。两个浮点数的阶码对齐算法是小阶对大阶，即小阶码每加1，对应的尾数右移1位。阶码加法和尾数右移操作都需要定点CPU执行软件指令来实现，导致定点CPU运算浮点数很耗时。

浮点DSP的主运算处理单元是32位定点CPU，主要完成指令执行、定点数运算、存储器和外设寄存器访问等操作，32位浮点协处理器（即FPU）主要完成单精度浮点数运算。浮点数DSP比相同时钟频率的定点数DSP运算单精度浮点数快50%以上。因此，浮点DSP非常适合数字通信和数字信号处理算法混合高速实现的应用场合。

DSP集成开发环境CCS的C编译器自动完成定点DSP和浮点DSP的数值处理，但是，了解二进制定点数与浮点数的表示方法、算术运算规则、二-十进制数互相转换算法等，有助于加深理解定点DSP和浮点DSP的数值处理方法。

1.4.1 二进制定点数定标表示法

定点CPU能对一定字宽（即数据长度）的二进制数补码直接进行加、减、乘、除算术运算（CPU包含算术逻辑单元ALU和乘法器）。常用的微控制器，如51单片机，是一种8位定点CPU。定点CPU实际上完成二进制整数算术运算，定点CPU不知道小数点的存在，定点数的小数点位置完全是编程者人为默认的，别人也不知道小数点的位置。小数点位置的人为默认称为定标。定标不同，定点数表示的十进制数范围就不同。通常人们把n位二进制数补码看成整数来讨论，实际上就是把默认小数点位置定位在最低一位二进制数后面，称为Q0定标数，n位二进制数补码默认小数点位置共有n个，Q0表示有0位二进制小数，n位二进制整数。Q1表示有一位二进制小数，n-1位二进制整数；Q（n-1）表示有n-1位二进制小数，1位二进制整数，如图1-4所示。可见，Q定标数越大，二进制小数位数越大，二进制整数位数越小。二进制整数位数越小，表示的十进制数范围越小。二进制小数位数越大，表示的十进制数的小数精度越高。

注意：n位二进制数补码的Q（n-1）定标数，只有1位二进制整数，位于n位二进制数补码的最高位，二进制数补码的最高位有双重含义：既代表一位二进制数，又代表n位二进制数补码的符号位。定点CPU对二进制数补码进行算术运算时，并不把最高位看作符号位，而是看作一位普通二进制数（0/1），参与算术运算，但是算术运算结果的最高位又要看作符号位，这就是二进制数补码的神奇之处。

如果把n位二进制数补码小数点位置默认在最高位的左边，如图1-5所示，则n位二进制数补码就蜕变成无符号纯二进制小数，用Qn定标数表示。虽然在定点CPU运算中，很少用到无符号二进制数运算，但是无符号纯二进制小数却是浮点数格式数中尾数的表示格式，即浮点数中的尾数部分一定是无符号二进制小数。

1.4.2 二进制定点数运算规则

（1）二进制定点数可以直接加减运算的必要条件是：字宽一致、Q定标数一致。若字宽不一致，要把短字定点数带符号扩展对齐长字定点数。带符号扩展规则是：若短字宽数最高位为0，则高位符号扩展全0；若最高位为1，则高位符号扩展全1。

若定标数不一致，要把大Q定标数带小数点右移，向小Q定标数对齐后，再做加减运算，结果才正确。大Q定标数右移规则：带默认小数点一起逻辑右移，即每右移1位，最高位填0，最低位丢失一位。

（2）二进制定点数可以直接相乘运算的条件是：字宽一致、Q定标数不需要一致。乘积的字宽为被乘数和乘数字宽之和，乘积的定标数是被乘数Q定标数与乘数Q定标数之和。

【例1-1】 0x0001+0x07，即被加数为16位，加数为8位，则加数8位要带符号扩展成16位，0x07带符号扩展变为0x0007，然后运算：0x0001+0x0007=0x0008。

【例1-2】 两个8位二进制定点数，A是Q0定标数：0x01（对应十进制数1），B是Q1定标数：0x02（对应十进制数1）。这两个数由于Q定标数不相等，直接进行加减运算，运算结果是错的：0x01（Q0）+0x02（Q1）=0x03，用Q0来解析0x03是十进制数3，用Q1来解析0x03是十进制数1.5，均不是正确加结果：1+1=2。

所以，先要进行大Q对齐小Q操作：0x02（Q1）右移1位，变为0x01（Q0），对齐后，0x01（Q0）+0x01（Q0）=0x02（Q0），结果正确。

【例1-3】 两个8位二进制补码数，A是Q0定标数：0x01（对应十进制数1），B是Q1定标数：0x02（对应十进制数1），则A×B的乘积为16位，乘积的定标数是16位字宽下的Q（0+1）=Q1，即16位乘积有15位整数，1位小数。

验证：0x01（对应十进制数1）×0x02（对应十进制数1）=1×1=1。

16位乘积运算结果：A×B=0x0002（Q1）＝十进制数1。结果正确。

1.4.3 十-二进制数手工快速转换算法

编程者经常需要手工进行十-二进制数的相互转换，掌握手工快速转换算法可以提高计算效率。

转换条件：已知十进制数被转换为二进制定点数的字宽为n，定标数为Qm。二进制定点数字宽n和定标数Qm应满足十进制数表示范围与精度要求。十-二进制转换算法如下。

IF 十进制数是正数 THEN

｛十进制数×2m=［十进制数乘积］取整＝转换为n位二进制数，即为转换成功的二进制定点数。｝

ELSEIF 十进制数是负数 THEN

｛①｜十进制数｜×2m=［十进制数乘积］取整＝转换为n位二进制数。

②再把n位二进制数求反加1，即为转换成功的二进制定点数。｝

1.4.4 二-十进制数手工快速转换算法

转换条件：已知n位二进制定点数定标数为Qm，则二-十进制数转换算法如下。

IF 二进制数是正数 THEN

｛①将二进制数看成二进制整数（Q0），转换为十进制整数。

②十进制转换整数／2m＝十进制数商，取有效小数后，即为转换成功的十进制数。

｝

ELSEIF 二进制数是负数 THEN

｛①将二进制数看成二进制整数（Q0）求反加1的结果，转换为十进制整数。

②十进制转换整数／2m＝十进制数商，取有效小数后，在该十进制数商前面再人为加一个负号，即为转换成功的十进制数。

｝

【例1-4】 试把0.33转换为16位二进制定点数，定标数为Q13。

0.33×213=［2703.36］取整=2703=0x0A8F

0.33转换为16位二进制定点数

Q13=0x0A8F

【例1-5】 试把-0.33转换为16位二进制定点数，定标数为Q13。

｜-0.33｜×213=［2703.36］取整=2703=0x0A8F，对0x0A8F求反加1=0xF571。

-0.33转换为16位二进制定点数

Q13=0xF571

【例1-6】 请把定标数为Q13的16位二进制定点数0x0A8F转换为十进制数。

（1）0x0A8F=2703；（2）2703/213=0.329956，取0.3299为十进制转换数。

【例1-7】 请把定标数为Q13的16位二进制定点数0xF571转换为十进制数。

（1）0xF571求反加1=0x0A8F=2703；（2）2703/213=0.329956，取0.3299为十进制转换数，再人为加一个负号，-0.3299为十进制转换数。

1.4.5 二-十进制整数计算机典型转换算法

在计算机应用系统中，经常需要把二进制定点数计算的结果转换为十进制数（即BCD码，4位二进制数表示的十进制数），再转换为显示码，送到计算机显示屏上显示。由于二进制定点数小数点左边为二进制整数部分，小数点右边为二进制小数部分，所以，一个二进制定点数被转换为十进制数，需要分别把二进制整数部分转换为十进制整数，二进制小数部分转换为十进制小数。二-十进制整数计算机典型转换算法是“除10求余”，二-十进制小数计算机典型转换算法是“乘10取整”，转换条件：已知n位二进制定点数定标为Qm，则二-十进制数整数转换算法如下。

IF 二进制数是正数 THEN

｛①取n-m位二进制数整数部分，符号扩展成字节的整数倍字宽。

②二进制数整数除10求余数，第1次余数为十进制整数最低位数BCD码，第1次部分商数作为下一次除10求余数的二进制整数基数，除10求余数，产生十进制整数较高一位数BCD码，继续除十求余数，直到部分商数为零为止。此时，各位BCD即为转换成功的十进制整数。

③在十进制整数BCD码的数符单元中，置一个正号标识符，构成转换成功的完整正数十进制数各位BCD码。

｝

ELSEIF 二进制数是负数 THEN

｛①二进制数求反加1的结果，取n-m位二进制数整数部分，符号扩展成字节整数倍的字宽。

②二进制数整数除10求余数（计算机除法指令或除法子程序一定是被除数字宽为除数字宽的2倍，如16/8、32/16、64/32，产生的商和余数字宽与除数字宽一致）。第1次余数为十进制整数最低位数BCD码，第1次部分商数作为下一次除10求余数的二进制数整数基数，产生十进制整数的较高一位数BCD码，直到部分商数为零为止，继续除10求余数，直到部分商数为零为止，此时，各位BCD即为转换成功的十进制整数。

③在十进制转换数BCD码的数符单元中，置一个负号标识符，构成转换成功的完整负数十进制数各位BCD码。

｝

十-二进制转换算法只在人机接口输入十进制数据时才用到，留给用户思考。

1.4.6 二-十进制小数计算机典型转换算法

二-十进制小数计算机典型转换算法是“乘10取整”，转换条件：已知n位二进制定点数定标数为Qm。二-十进制数小数转换算法如下。

①取m位二进制数小数部分，最低位填0扩展为字节的整数倍字宽。

②二进制数小数乘10取整，乘积取整数部分。第一次整数部分为十进制转换小数最高位数BCD码，第一次乘积的小数部分，最低位填0扩展为字节的整数倍字宽，继续乘10取整，产生十进制转换小数的较低各位BCD码，直到十进制转换小数位数达到有效值范围为止。

1.4.7 二进制浮点数数据格式与运算规则

1．IEEE-754标准单精度32位浮点数数据格式

浮点数从存储格式上也是一定字宽的二进制数，但是数据格式与定点数有很大区别，浮点数由数符位、阶码（二进制整数补码）、尾数（无符号二进制小数）3部分组成。在相同数值精度下，浮点数的字宽比定点数的长。例如，一种尾数为16位的3字节自定义浮点数与16位定点数Q15的精度几乎相当，但浮点数总字宽为24位二进制数序列，如图1-6所示。

F28335的FPU支持IEEE-754标准的单精度32位浮点数，用4字节表示，数据格式如图1-7所示。

x（IEEE单精度浮点数真值）=（-1）s×2e-127×（1.f）

当0<e<255时，x=（-1）s×2e-127×（1.f）。

当e=0时，且f≠0时，x=（-1）s×2-127×（1.f）。

当e=0时，且f=0时，x=0。

当e=255时，且f≠0时，x=NaN（Not a Number，不是一个数），表示数据出错、无效。

当e=255时，且f=0时，x=∝（无穷大）。s=0，x=+∝；s=1，x=-∝。

注意：虽然f为32位纯小数，但计算真值时，变为1.f即小数点左边自动填1，变为1<尾数<2的实数。

【例1-8】 将IEEE单精度浮点数03A00000H转换为十进制实数。

解：

s=0， e=07H， f=200000H（=200000H/223=0.25）

x=（-1）0×27-127×（1.25）=1.25×2-120

IEEE单精度浮点数的缺点：尾数不是小于1且大于0.5的规格化尾数，而是小于2且大于1的尾数。两个IEEE单精度浮点数的加、减运算的小阶对大阶时，尾数1.f进行运算比较麻烦。但是F28335的FPU完美支持IEEE-745标准的单精度浮点数运算，用户只需在CCS 3.3环境下，升级F2833x codegen Tool到5.0.2版本以上，在工程文件中添加F2833x_FPU支持库，即rts2800_fpu32.lib。

2．二进制浮点数运算规则

浮点数算术运算规则：在阶码相同下，尾数部分进行算术运算。浮点数乘除法运算结果的数符位遵循正负得负、负负得正。

若两个浮点数阶码不相同，则需要在保持数值精度一定的原则下，小阶码浮点数向大阶码浮点数对齐，小阶对大阶的算法是：小阶码每加1一次，该浮点数的尾数就要右移1位，以保持小阶码浮点数的数值精度一定（当然，尾数右移1位会产生一定精度损失），直到等于大阶码为止。

3．二进制浮点数的十进制数转换手工快速算法

转换条件：已知浮点数的数据格式：n位二进制整数阶码，m位二进制小数尾数，1位数符位（0/1）。二进制浮点数的十进制数转换手工快速算法如下。

①m位二进制小数尾数×2m＝十进制数小数尾数。

②调用二-十进制数转换算法，将n位二进制整数阶码转换为十进制整数阶码，因为n位二进制整数阶码有正有负，则十进制转换整数阶码有正有负。

③浮点数对应的十进制转换数＝（-1）数符位×2十进制转换整数阶码×十进制数小数尾数。

4．二进制浮点数的十进制数转换计算机典型算法

转换条件：已知浮点数的格式，n位二进制整数阶码，m位二进制小数尾数，1位数符位（0/1）。二进制浮点数的十进制数转换计算机典型算法如下。

IF n位二进制整数阶码是正数 THEN

｛①循环计数器初值＝n位二进制正整数阶码

m位二进制小数尾数左移次数等于循环计数器的初值（每次左移最低位填0），产生等于循环计数器初值的高位是二进制整数部分，剩余的m位为小数部分。

②将第①步产生的二进制无符号定点数，调用二-十进制定点数转换计算机典型算法转换成十进制数BCD码。

③用浮点数的1位数符位（0/1）在十进制转换数BCD码的数符单元中，置一个正／负号标识符。十进制数各BCD码转换成功。

｝

ELSEIF n位二进制整数阶码是负数 THEN

｛①将n位二进制整数阶码符号扩展为字节的最小整数倍字宽，然后求反加1，转换为n位二进制正整数阶码。

②循环计数器初值＝n位二进制正整数阶码

m位二进制小数尾数右移次数等于循环计数器的初值（每次右移最高位填0），产生二进制小数部分m位＋等于循环计数器初值位数，转换的整数部分为0。

③将第②步产生的二进制无符号定点小数，调用二-十进制定点数转换计算机典型算法转换成十进制数BCD码。

③用浮点数的1位数符位（0/1）在十进制转换数BCD码的数符单元中，置一个正／负号标识符。十进制数各BCD码转换成功。

｝