1.1 随机事件
1.1.1 随机试验、样本空间、事件
1. 随机试验
为了找到某种随机现象的规律，就需要对这种随机现象进行研究．研究的方法就是进行试验，一般是进行大量的试验，根据试验结果的统计规律，构造概率模型，作出客观、量化的判断．
这里的试验不同于物理、化学中的实验，这里的试验称为随机试验，主要目的是研究随机现象．具体来讲，所谓随机试验（random experiment，一般记为E）是指满足下述条件的试验：
（1）试验在相同的条件下可以重复进行；
（2）每次试验可出现不同的结果，但最终出现哪种结果，试验之前不能确定；
（3）事先知道试验可能出现的全部结果．
【例1.1】随机试验的例子．
E1：掷一枚匀称的骰子并观察顶面出现的点数．
E2：抛一枚匀称的硬币4次，观察正面出现的次数．
E3：抛一枚匀称的硬币4次，观察正反面出现的序列．
E4：在一条生产线上制造零件，一天（24h）生产的次品零件的数目．
E5：10个零件含有3个次品，一个接一个（不放回）取出零件直至最后一个次品零件取出时，从这批零件中取出的零件总数．
E6：制造零件直至10个正品生产出来时制造的零件总数．
E7：生产一个灯泡，将它插入插座，记录直至灯灭所经过的时间（以小时计），即记录它的寿命．
E8：向坐标平面区域D：x2＋y2≤100内随机投掷一点（假设点必落在D上），观察落点M的坐标．
E9：测量某个零件的尺寸，观察测得的尺寸与规定尺寸的偏差x（mm）．
2. 样本空间
定义1.1 对我们所研究的每一个试验E，我们定义E的一切可能结果的集合为它的样本空间（sample space），一般记为Ω．每一可能结果称为样本点（sample point），常记作ω．
【例1.2】给出例1.1中随机试验的样本空间，把试验Ei的样本空间记为Ωi．
Ω1＝{1，2，3，4，5，6}．
Ω2＝{0，1，2，3，4}．
Ω3＝{由a1a2a3a4组成的一切序列}，这里每个a1＝H或T由第i次投掷时出现正面还是反面而定．
Ω4＝{0，1，2，…，N}，这里N是在24h内能够生产零件的最大数目．
Ω5＝{3，4，5，6，7，8，9，10}．
Ω6＝{10，11，12，…}．
Ω7＝{t｜t≥0}．
Ω8＝{（x，y）｜x2＋y2≤100}．
Ω7＝{x｜a＜x＜b}．
样本点和样本空间是概率论中的两个基本概念．随着对所讨论问题的兴趣不同，同一随机试验可以有不同的样本空间，如E2、E3．所以讨论问题前必须先确定相应的样本空间．
请注意，样本空间的样本点即试验的结果不一定是数．样本空间的样本点的个数有3种情况：个数有限，如Ω1～Ω5；个数无穷多个但可数可列，如Ω6；个数无穷且不可数，如Ω7～Ω9．
3. 事件
样本空间的某些样本点组成的集合称为随机事件（random event），简称事件，一般用大写字母A、B、C等表示．
【例1.3】按要求列出例1.1中随机试验对应的各个事件．用Ai来表示相应于试验Ei的一个事件．
A1：出现偶数点，即A1＝{2，4，6}．
A2：出现两次正面，即A2＝{2}．
A3：正面多于反面，即A3＝{HHHH，HHHT，HHTH，HTHH，THHH}．
A4：全部是正品，即A4＝{0}．
A5：取出的零件总数不多于5个，即A5＝{3，4，5}．
A6：制造的零件总数不少于12个，即A6＝{12，13，14，…}．
A7：灯亮持续12h以上，即A7＝{t｜t＞12}．
A8：落在第一象限，即A8＝{（x，y）｜x2＋y2≤100且x＞0，y＞0}．
A9：偏差小于0.1（mm），即A9＝{x｜a＜－0.1＜x＜0.1＜b}．
关于事件的定义，有以下几点说明．
（1）如果在一次试验中出现了某个样本点ω，而ω∈A，则称事件A发生了．
（2）由样本空间Ω中的单个元素组成的子集称为基本事件．
（3）Ω本身称为必然事件，空集Ø称为不可能事件．
（4）当样本空间Ω是有限或可数可列时，每一个子集都可以看作是一个事件．当Ω是无穷不可数时，不是每一个可能的子集都能作为一个事件，但一般不是事件的子集在实际中基本不会出现，所以在这里我们不必关心．在此我们可以假定，我们所考虑的子集都是事件．
1.1.2 事件间关系与运算
假设以下讨论都是在同一样本空间Ω中进行的．
1. 事件的关系
（1）包含关系．
如果B中的样本点都是A中的样本点，则称B包含于A，或称事件A包含B，也称B为A的子事件，记作A⊃B（或B⊂A）．用概率论语言描述：事件B的发生必然导致事件A发生．
B⊂A一个等价的说法为，如果事件A不发生，则事件B必然不发生．
为方便起见，规定对于任一事件A，有Ø⊂A⊂Ω．
（2）相等关系．
若A⊃B同时B⊃A，则称事件A与B相等，记作A＝B．
（3）互不相容关系．
如果A与B没有相同的样本点，即AB＝Ø，则称A与B互不相容（或称为互斥）．用概率论语言描述为：事件A与B不能同时发生，即若事件A发生，则事件B必然不发生，反之亦然．但是，有可能事件A与B都不发生．
基本事件是两两互不相容的．
（4）互逆关系．
如果A与B互不相容且它们中必有一事件发生，即AB＝Ø且A∪B＝Ω，则称事件A与B是对立的（或互逆的），称事件A是事件B的对立事件（或逆事件）；同样，事件B也是事件A的对立事件（或逆事件），记为B＝A或
．
对立事件必为互不相容事件，而互不相容事件未必是对立事件．
2. 事件间的运算
现在我们利用集合理论将已知的集合（即事件）A、B通过各种运算以得到新的集合（事件）．下面就来叙述它们．
（1）事件A与B的和（并），记作A＋B（也可记作A∪B），称为和事件．
其含义为“由事件A与B中所有样本点（相同的只计入一次）组成的新事件”．用概率论语言描述为事件A与B至少有一个发生．
（2）事件A与B的积（交），记作AB（也可记作A∩B），称为积事件．
其含义为“由事件A与B中公共样本点组成的新事件”．用概率论语言描述为事件A与B同时发生．
（3）事件A与B的差，记作作A－B，称为差事件．
其含义为“由在事件A中而不在B中的样本点组成的新事件”．用概率论语言描述为件A发生，但B不发生．显然
．
4）事件A的补运算，记作
，称为A的对立事件，或者A的逆事件．
其含义为“由在样本空间Ω中但不在事件A中的样本点组成的新事件B”，即AB＝Ø且A＋B＝Ω．用概率论语言描述为事件A不发生．
3. 事件运算的性质
事件的关系与运算满足集合论中有关集合运算的一切性质．
（1）交换律：A＋B＝B＋A，AB＝BA．
（2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C），（AB）C＝A（BC）．
（3）等幂律：A＋A＝A，AA＝A．
（4）吸收律：若A⊂B，则AB＝A，A＋B＝B．
（5）分配律：（A＋B）C＝AC＋BC，（AB）＋C＝（A＋C）（B＋C）．
（6）德·摩根（De Morgan）律：
．
对于多个事件，甚至对于无限可列个事件，德·摩根律也成立．用概率论语言描述为任意多个事件至少有一个发生的反面是这些事件都不发生；任意多个事件都发生的反面是这些事件中至少有一个不发生．
从集合角度讲，任意一个事件都是样本空间的一个子集，事件之间的关系我们也可以借助Venn图来理解．事件既可以用语言描述，也可以用集合表示，读者要学会把集合论的写法与事件运算的有关意义互相翻译，要学会利用事件的运算把复杂事件分解成简单事件．
【例1.4】若A、B、C是某个随机试验的三个事件，则
{事件A发生而B与C都不发生}表示为
或A－B－C或A－（B＋C）；
{事件A与B都发生而C不发生}表示为
或AB－C或AB－ABC；
{A、B、C三个事件都发生}表示为ABC；
{A、B、C三个事件恰好发生一个}表示为
；
{A、B、C三个事件恰好发生两个}表示为
；
{A、B、C三个事件至少发生一个}表示为A＋B＋C或
．
【例1.5】一电路系统由元件A与B并联所得的线路再与元件C串联而成（如图1.1所示）．若以A、B、C表示相应元件能正常工作的事件，那么事件W＝{系统能正常工作}＝{元件A与B至少一个能正常工作并且C能正常工作}＝（A＋B）C或者AC＋BC．
图1.1 某电路系统
在此题中可以利用电路的相关知识来验证德·摩根律：
本书所讨论的试验的一个基本特征是在进行试验之前我们不知道哪个结果会发生．也就是说，如果A是相应于某一试验的一个事件，那么我们不能断言A将发生还是不发生．因此很重要的一个问题是尝试把事件A与一个数联系，这个数在某种意义上能量度出事件A发生的可能性大小，这个目的引导我们得到概率理论．