第四节 无黏性土的被动土压力

一、填土表面无荷载的情况

当挡土墙在外力或填土的作用下产生向着填土方向的位移或变形，使墙背面填土失去弹性状态而逐渐进入被动极限平衡状态，此时填土中形成两组连续而对称的滑动面，滑动面与大主应力作用面的夹角α=45°+，滑动面与小主应力作用面的夹角α₁=45°-，如图2-13（a）所示。

当填土处于被动极限平衡状态时，水平方向的正应力σ_x为大主应力σ₁，竖直方向的正应力σ_x=γz（其中γ为填土的容重，z为计算点距填土表面的深度）为小主应力σ₃，因此，根据土中应力的极限平衡条件［公式（1-15）］，可得填土表面以下深度为z处的被动土压力为

式中 p_p——填土表面以下深度为z处的被动土压力强度,kPa；

σ₁、σ₃——填土在被动极限平衡状态下的大主应力、小主应力,kPa；

φ——填土的内摩擦角,(°);

γ——填土的容重（重力密度）；

z——填土表面以下计算点的深度。

所以填土表面以下深度z处，作用在墙面上的被动土压力强度为

式中 K_p——朗肯被动土压力系数。

在挡土墙墙踵高程处，z=H，故该处的被动土压力强度为

式中 H——挡土墙的高度。

作用在1m长度挡土墙上的总被动土压力，可通过对公式（2-169）的积分求得

式中 P_p——作用在1m长度挡土墙上的被动土压力,kN。

由公式（2-169）可见，被动土压力p_p与计算点在填土表面以下的深度z的一次方成正比，因此被动土压力强度沿挡土墙高度为线性分布（即直线分布），所以被动土压力的分布图形为三角形，如图2-13（b）所示。

总被动土压力P_p的作用点距墙踵点的高度为

二、填土表面有均布荷载的情况

当填土表面作用均布荷载q时（图2-14），填土表面以下深度为z处的竖直应力为σ_z=q+γz

在被动极限平衡状态下，竖直应力σ_z等于小主应力σ₃，因此将上式代入公式（2-168），则得填土表面以下深度为z处的被动土压力强度为

此时在挡土墙墙踵高程处的被动土压力强度为

由公式（2-173）和公式（2-174）可见，此时被动土压力由两部分组成，即由均布荷载q产生的被动土压力强度qK_p（沿墙高为均匀分布）和由填土自重产生的被动土压力强度（沿墙高为三角形分布），如图2-14所示。

此时作用在挡土墙上的总被动土压力为

总被动土压力P_p的作用点距墙踵点的高度为

三、填土表面以下有地下水的情况

当填土表面以下有地下水，地下水面以上填土层的厚度为H₁，填土的容重为γ（填土的自然容重），内摩擦角为φ₁；地下水面以下填土层的厚度为H₂，填土的容重为γ′（填土的浮容重），内摩擦角为φ₂，如图2-15所示。

此时挡土墙上的被动土压力可分为φ₁=φ₂=φ和φ₁≠φ₂两种情况来计算。

1.φ₁=φ₂=φ时

当地下水面以上填土层和地下水面以下填土层的内摩擦角相等，即φ₁=φ₂=φ时，在地下水面以上填土层中，距填土层表面以下深度z处的被动土压力强度p_pz根据公式（2-169）为

式中 γ——地下水面以上填土层的容重,kN/m³；

K_p——填土的被动土压力系数;

φ——填土的内摩擦角，（°）。

在地下水面高程处，被动土压力强度为

式中 H₁——地下水面以上填土层的厚度,m。

在地下水面以下深度为z′处，被动土压力强度为

由公式（2-180）可见，在地下水面以下，被动土压力强度由两部分组成，其中γH₁K_p是由地下水面以上填土层的自重产生的被动土压力强度，沿高度H₂（地下水面以下填土层的厚度）为均匀分布；而γ′z′K_p是由地下水面以下土层在计算点以上的土柱自重（即γ′z′）产生的被动土压力强度，它与z′的一次方成正比，所以这一部分的土压力强度沿高度H₂为三角形分布（即线性分布）。

在挡土墙墙踵处，z′=H₂，故该处的被动土压力强度为

此时作用在挡土墙上的总被动土压力P_p由三部分组成，即由地下水面以上填土层产生的被动土压力，由地下水面以上填土层自重在地下水面以下填土层内产生的被动土压力和由地下水面以下填土自重产生的被动土压力，这三部分被动土压力分别为

所以总被动土压力为

总被动土压力作用点距墙踵点的高度为

2. φ₁≠φ₂时

当地下水面以上填土层的内摩擦角φ₁和地下水面以下填土层的内摩擦角φ₂不相同时，被动土压力的计算方法与φ₁=φ₂的情况相同，但被动土压力系数略有不同。

此时在地下水面以上填土层高度范围内，填土表面以下深度z处的被动土压力强度为

式中——地下水位以上填土层的被动土压力系数。

在地下水面以下深度z′处的被动土压力强度为

式中——地下水面以下填土层的被动土压力系数。

在地下水面高程处，被动土压力强度由两个不同的值，即在地下水面以上填土层底面高程处z=H₁，根据公式（2-185）可得该处的被动土压力强度为

在地下水面以下填土层的顶面高程处z′=0，根据公式（2-187）可得该处的被动土压力强度为

在挡土墙墙踵高程处z′=H₂，因此根据公式（2-187）可得该处的被动土压力强度为

作用在挡土墙上的总被动土压力P_p，仍由三部分所组成，其值为

总被动土压力P_p的作用点距墙踵点的高度扔可按公式（2-184）计算：

四、填土表面有均布荷载和填土内有地下水的情况

当挡土墙墙面光滑竖直，墙背面填土为无黏性土，填土表面水平，填土面作用均布荷载q，填土内有地下水，地下水面以上填土层的厚度为H₁，填土的容重（自然容重）γ，内摩擦角为φ₁；地下水面以下填土层的厚度为H₂，填土容重（浮容重）为γ′，内摩擦角为φ₂，如图2-16所示。

此时的被动土压力可分为以下两种情况来计算。

1.当γ>γ′和φ₁=φ₂时

当填土的容重γ>γ′，内摩擦角φ₁=φ₂=φ时，填土表面以下深度为z处（z≤H₁）的被动土压力为

作用在地下水面高程处的被动土压力强度为

地下水面以下深度z′处的被动土压力强度为

挡土墙墙踵高程处的被动土压力强度为

此时被动土压力沿墙高的分布图形如图2-16（a）所示。

作用在挡土墙上的总被动土压力为

总被动土压力P_p的作用点距墙踵点的高度为

2.当γ＞γ′和φ₁＞φ₂时

当挡土墙背面填土的容重和内摩擦角存在γ>γ′和φ₁>φ₂关系时，被动土压力按下列公式计算。

填土表面以下深度z处的被动土压力强度为

式中——地下水面以上填土的被动土压力系数。

在地下水面高程处，被动土压力强度有下列两个值。

（1）地下水面以上填土层底面的高程处：

（2）地下水面以下填土层顶面高程处：

式中 K_p2——地下水面以下填土的被动土压力系数。

地下水面以下深度z′处的被动土压力强度为

在挡土墙墙踵高程处，被动土压力强度为

此时挡土墙上被动土压力的分布图形如图2-16（b）所示。

作用在挡土墙上的总被动土压力为

总被动土压力作用点距墙踵点的高度为

五、双层填土的情况

当挡土墙墙背面填土为两层，上层填土厚度为H₁，容重为γ，内摩擦角为φ₁；下层填土的厚度为H₂，容重为γ₂，内摩擦角为φ₂，如图2-17所示。

此时被动土压力可按填土内有地下水的情况来进行计算。