3.3　导数在函数性质中的应用

导数的应用比较广泛，凡是反映变化率的问题，均可以用导数加以解决。在人工智能算法中，导数常用于函数单调性、凹凸性、极值的求解和基于梯度的寻优算法等方面。本节主要用导数研究函数的单调性、凹凸性和极值等性质。

3.3.1　单调性

函数的单调性也叫作函数的增减性。若当函数的自变量x在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数在该区间上具有单调性。

判断函数单调性的方法主要有图像观察法、定义法和导数法。其中，利用导数法求解函数单调性，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握，其涉及的定理如下。

设函数在上连续，在内可导，则：

（1）如果在内，那么函数在上单调增加；

（2）如果在内，那么函数在上单调减小。

例3-9　判断函数的单调性。

解：使用Python包Pylab和Matplotlib绘制函数及其导函数图，观察导数为0的大致位置，然后利用Python包SciPy中的函数fsolve求解导函数方程，得到使导数变号的点，该点可用于划分单调区间。具体程序如下：

运行结果如图3-4所示，导数为0的大致位置在-0.6和0.6附近，给定初值，计算导函数为0时的方程精确解为-0.66和0.78。区间[-2，-0.66]为单调递减区间，区间(-0.66,0.78]为单调递增区间，区间(0.78,2]为单调递减区间。

3.3.2　凹凸性

通过函数的单调性，可知道函数变化的增减性，从几何直观角度来看，可判断函数图形的升降。但是，要准确地描绘函数的图形，还必须研究函数曲线的弯曲方向及弯曲方向的转折点。

对于如图3-5所示的曲线，我们称之为凹曲线，其特征是曲线上任意两个不同点、连接的弦始终在曲线弧的上方。

同样地，对于如图3-6所示的曲线，我们称之为凸曲线，其特征是曲线上任意两个不同点、连接的弦始终在曲线弧的下方。

为此，对于曲线的凹凸性定义如下。

设定义在上且连续，若对中任意不同的两点，总有

则称曲线在上是凸的；若对中任意不同的两点，总有

则称曲线在上是凹的。

曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。可以用二阶导数的符号判定函数的凹凸性，现有如下定理。

设函数在上连续，在内具有二阶导数，则：

（1）如果在内，那么曲线在内是凹的；

（2）如果在内，那么曲线在内是凸的。

例3-10　判断函数的凹凸性。

解：使用Python包Pylab和Matplotlib绘制函数及其二阶导函数图，观察二阶导数为0的大致位置，利用Python包SciPy中的函数fsolve求解导函数方程，得到使二阶导数变号的点，该点可用于划分凹凸区间。具体程序如下：

运行结果如图3-7所示，二阶导数为0的大致位置在0附近，给定初值0.1，计算得到二阶导函数为0时的方程精确解为0.0。区间[-2,0]为凹区间，区间(0,2]为凸区间。

3.3.3　极值

设函数在内有定义，是内的一个点，若存在的某去心邻域使对在该邻域内的任何，都有，则称为的一个极大值（极小值），称为的一个极大值点（极小值点）。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。

从定义可以看出，函数的极大值和极小值是局部概念，而最大值和最小值是针对区间的全局概念，它们可能相等，也可能不相等。若函数在某点存在极值，且有导数，则函数取极值的必要条件如下。

设函数在点处具有导数，且在处有极值，那么函数在点处的导数。

在实际计算中，需要计算导数不存在的点和的点[称为的驻点]，再进一步判断这些点是极大值点还是极小值点。函数取极值的充分条件如下。

函数取极值的第一种充分条件　设在的某去心邻域内可导，在点连续，是驻点或不存在，则：

（1）如果当取左侧邻近的值时，，且当取右侧邻近的值时，，那么函数在处取极大值；

（2）如果当取左侧邻近的值时，，且当取右侧邻近的值时，，那么函数在处取极小值；

（3）如果当在的左右两侧邻近取值时，的符号不改变，则在处不取极值。

函数取极值的第二种充分条件　设为函数的一个驻点，且该点处函数的二阶导数存在，那么：

（1）若，则为极小值；

（2）若，则为极大值；

（3）若，则可能是也可能不是极值。

例3-11求函数的极值点和最值点。

解：使用Python包SciPy中的优化函数minimize求解，求得驻点后，可以根据函数的一阶导数和二阶导数判定极值点和最值点[7]。具体程序如下：

输出结果如下：