3.1 力系的平衡方程

3.1.1 空间任意力系的平衡方程

空间任意力系是力系中最普通的情形，其他各种力系都是它的特殊情形，因此从理论上说，研究空间任意力系的简化和平衡将使我们对静力学基本原理有一个全面的完整的了解。由2.4节空间任意力系的简化结果，得出空间任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩均为零，即

F_R=0 且 M_O=0

故任意力系平衡的几何条件为：力系简化的力矢多边形和力偶矩矢多边形同时封闭。

任意力系平衡的解析条件为

即

式（3.2）为空间任意力系平衡条件的解析形式，称为空间任意力系平衡方程的基本形式。该式表明，空间任意力系平衡的充分必要条件是：所有各力在三个任选的坐标轴上的投影的代数和等于零，以及各力对三个坐标轴的力矩的代数和也都等于零。应用这六个平衡方程求解空间任意力系的平衡问题时，可解出六个未知量。

3.1.2 特殊力系的平衡方程

1.汇交力系的平衡方程

若力系F₁，F₂，…，F_n作用线汇交于O点，建立O-xyz坐标系，如图3.1所示,则各力与x、y、z三轴相交，故各力对于x、y、z轴的矩都等于零，因而,空间任意力系六个平衡方程式（3.2）中,后三个力矩平衡方程式成了恒等式。因此空间汇交力系只有三个平衡方程式，可求解三个未知量，即

也就是说，空间汇交力系平衡的充分必要条件是：该力系中所有力在空间三个轴上的投影的代数和分别等于零。

由空间汇交力系的平衡条件也可得出平面汇交力系的平衡方程，设汇交力系作用在xy平面，则各力在z轴上的投影也等于零,因而,平面汇交力系的平衡方程只有两个投影方程式，可求解两个未知量，即

2.平行力系的平衡方程

设一物体受空间平行力系F₁，F₂，…，F_n的作用,如图3.2所示,令z轴与各力平行，则各力对于z轴的矩等于零，又由于x轴和y轴都与这些力垂直，所以各力在x轴、y轴上的投影也等于零,因而,空间任意力系六个平衡方程式（3.2）中,第一、第二和第六个平衡方程式成了恒等式。因此空间平行力系只有三个平衡方程式，可求解三个未知量，即

所以空间平行力系平衡的充分必要条件是：各力在与各力平行的z轴上投影等于零，各力对与各力垂直的x、y轴的力矩的代数和都等于零。

由空间平行力系的平衡条件也可得出平面平行力系的平衡方程，设各力与z轴平行，各力对于x轴和y轴的矩都在xy平面内，可合成一个力偶矩。因而,平面平行力系的平衡方程只有两个平衡方程式，可求解两个未知量，即

3.力偶系的平衡方程

如图3.3所示，物体上作用力偶系M₁，M₂，…，M_n，根据力偶的性质，力偶在任意轴上的投影为零，因而,空间任意力系六个平衡方程式（3.2）中,前三个投影方程式成了恒等式。因此空间力偶系只有三个平衡方程式，可求解三个未知量，即

所以空间力偶系平衡的充分必要条件是：各力对三个坐标轴的力矩的代数和都等于零。

对于平面力偶系，合成的结果是一个合力偶，因而,平衡方程只有一个力矩方程式，只求解一个未知量，即

4.平面任意力系

设平面任意力系F₁，F₂，…，F_n作用在xy平面，由2.4节的简化结果，得平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任一点的主矩均为零，即

F_R=0 且 M_O=0

故平面任意力系平衡的几何条件为：力系简化的力矢多边形和力偶矩矢多边形同时封闭。一般力系平衡的解析条件为

平面任意力系的平衡方程为

由此可得结论，平面任意力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和分别为零，以及各力对于任一点的矩的代数和也为零。式（3.10）称为平面任意力系的平衡方程且为基本形式。

除一般形式外，还有二力矩式：

（x轴不能与A、B连线垂直）

三力矩式：

（A、B、C三点不共线）

这样，平面任意力系共有三种不同形式的平衡方程式，究竟选哪一种形式，需根据具体条件确定。对于受平面任意力系作用的单个刚体的平衡问题也只可以列出三个独立的平衡方程，求解三个未知量，任何第四个平衡方程都是前三个方程的线性组合，而不是独立的，但可利用这个方程来校核计算的结果。