3.3 分数幂方法

为此，本节首先基于分数幂方法提出连续控制律，保证系统式（3-8b）全局渐近稳定。而后，分析该策略下闭环系统的收敛速度，说明分数幂项对系统收敛速度的意义。在此基础上，本节通过设计分数幂参数，提出连续控制律，同时保证闭环系统在原点附近与远端的收敛速度。

3.3.1 AMV镇定控制

已有文献所提时变控制律的确可保证系统式（3-8b）全局渐近稳定。但因动态特性存在，现存时变控制律通常引入变量ϑ₂ϑ₅或ϑ₂ϑ₆，从而使闭环系统存在高阶非线性项。当系统状态ϑ₂、ϑ₅、ϑ₆处于原点附近时，导致过小，减缓系统稳定速度。

为此，本节提出如下控制方法，通过使用分数幂状态反馈控制输入来提高系统性能

其中，κ₁＞0、κ₂＞0、κ₃＞0、κ₄＞0、ξ₁＞0、ξ₂＞0、λ≠0为系统常参数，且满足如下条件

此处，参数ξ₁与ξ₂满足，其中，参数p₁、q₁、q₂为待选正奇数，q₂为待选正偶数。

由于AMV动态特性不满足Brockett定理必要条件，不能使用常规控制方法镇定该系统。因此，本节引入Barbalat引理，作为后续结论重要基础。

定理3.1：控制律式（3-9）可保证系统式（3-8b）全局渐近稳定。

证明：常规周期时变方法稳定性证明基于Barbalat引理，但由于分数幂控制律非光滑，无法得到其任意阶导数一致连续的结论，上述方法不可直接使用。需构造一致连续的辅助函数，证明系统稳定性。详细步骤如下：

将控制律式（3-9）代入至系统式（3-8b），可得闭环系统

对上述系统，考虑如下李雅普诺夫函数：

对V₁求导，可得

据不等式（3-13），可知单调不减，状态ϑ₂与ϑ₅必有界，且据闭环系统式（3-11）可知，状态ϑ₃与ϑ₆的动态特性满足：

结合动态特性式（3-14）以及状态ϑ₂有界的结论，可知状态ϑ₃与ϑ₆有界。且李雅普诺夫函数V₁单调不减，V₁≥0有下界。据单调有界定理，李雅普诺夫函数V₁必有极小值。对求导可得

因状态ϑ₂与ϑ₅连续有界，则与连续有界。因此一致连续，根据引理2.8，可得

定义奇数p₃与q₃满足。据前文可知，状态ϑ₂有界，且，则必有正实数满足。定义，对其取一阶与二阶导数，可得

及

因状态ϑ₂、ϑ₃、ϑ₅、ϑ₆有界，据式（3-17）与式（3-18）可知，与连续有界。由此可得一致连续。

结合引理2.8，可知

据前文可知，且状态ϑ₂与ϑ₆有界，式（3-19）说明：

定义偶数p₄与奇数q₄满足。因ϑ₂有界，据式（3-20），必有正实数满足：

定义，对其取一阶与二阶导数，可得如下结论：

及

因状态ϑ₂、ϑ₃、ϑ₅、ϑ₆有界，据式（3-22）与式（3-23），与连续有界。从而可知一致连续。结合引理2.8，可得到如下结论：

据前文可知且状态ϑ、ϑ、ϑ有界。式（3-24）说明。定义，对其分别取一阶与二阶导数，可得

及

因状态ϑ₂、ϑ₃、ϑ₅、ϑ₆有界，据式（3-25）与式（3-26），可知与连续有界。因此一致连续。结合引理2.8，可知

据前文可知，且状态ϑ₂、ϑ₃、ϑ₆有界，因此式（3-27）说明：

显然，时间趋向于无穷时，状态ϑ₂收敛于0。根据式（3-14），可知ϑ₃与ϑ₆皆全局渐近收敛于0。定理证明完毕。

附注3.1：参数选取中存在权衡关系，如κ₃与κ₄。通常控制律的增益系数与系统收敛速度具有正相关性。然而，较大的κ₃与κ₄可能降低状态ϑ₂收敛速度，而较小的κ₃与κ₄导致状态ϑ₃与ϑ₆收敛较慢。而且，参数κ₁与κ₂比率增加，可提高状态ϑ₂收敛速度，较大的κ₃/κ₄益于闭环系统收敛速度。

综上所述，本节首先给出如下AMV全局渐近控制律

其中，κ₁＞0、κ₂＞0、κ₃＞0、κ₄＞0、λ≠0、ξ₁＞0、ξ₂＞0为待选参数且满足ξ₁+ξ₂≤1，ϕ₁与ϕ₂可表述为

上述控制律以ϕ₁与ϕ₂作为分数幂参数，其与状态ϑ₂的幅值关系为

其中，ξ₁＞0、ξ₂＞0满足ξ₁+ξ₂＜1。如|ϑ₂|＞1，可得ϕ₁=1、ϕ₂=1。如系统收敛入区间|ϑ₂|＜1，可得ϕ₁=ξ₁、ϕ₂=ξ₂。

因控制律存在切换过程，需验证其连续性，即状态ϑ₂在点1与-1时左右两边的连续性。据式（3-29）可得

据式（3-32）可知，控制律ϖ₁与ϖ₂在状态ϑ₂=1左右两边连续。与ϑ₂=1相似，如ϑ₂=-1也有相同结论。因此，控制律在点|ϑ₂|=1处连续。

附注3.2：相比现存周期时变控制律，本节所提方法具有更快的收敛速度。参考文献[111]中方法虽可得到快速收敛速度，但所提控制律不连续。

基于上述讨论，对系统式（3-1），本节提出如下控制律

其中，η₁与η₂为

此处，κ₁＞0、κ₂＞0、κ₃＞0、κ₄＞0、λ≠0、ξ₁＞0、ξ₂＞0为待选参数且满足ξ₁+ξ₂≤1，ϕ₁与ϕ₂可表述为

定理3.2：控制律式（3-33）可保证AMV系统式（3-1）全局渐近稳定。

证明：据定理3.1，控制律式（3-33）可保证系统式（3-8b）全局渐近稳定。据引理3.2，可得控制律式（3-33）可保证系统式（3-8）全局渐近稳定。结合引理3.1，则系统式（3-1）全局渐近稳定。

3.3.2 收敛速度分析

本节所提方法可通过调整状态ϑ₂相关参数ξ₁与ξ₂提高系统收敛速度。为论证该性质，本节用数学关系解析参数ξ₁与ξ₂在闭环系统中所起作用。

考虑闭环系统式（3-11），定义李雅普诺夫函数为

对其求导可得

定义变量β为非负函数，满足

结合式（3-38）与式（3-39）可得

显然，如V₂＞0，较大的sin²β（t）意味着V₂更快的收敛速度。因此，可增加sin²β=改善系统收敛速度。据式（3-40）可得

其中，，且因V₂收敛于0，则ϵ_s必趋于无穷。

因V₂在原点附近和远端两种情况中，参数作用不同，本节将解析分为V₂处于原点某邻域内与邻域外两种情况。定义：

情况1：若V₂处于原点附近，状态β、Θ₃与Θ₆动态特性可描述为如下形式：

其中，ϵ₁、ϵ₂、ϵ₃为

定义李雅普诺夫函数V₃：

对其求导可得

其中，ϵ₄、ϵ₅、ϵ₆为

据式（3-10）可知，κ₄＞κ₂+1且，因此参数ϵ₄、ϵ₅、ϵ₆为正。

若ξ₁+ξ₂＞1，必有

因此结合不等式（3-46）可得

其中，。不等式（3-49）说明

因此β动态特性满足

其中，。据式（3-51），β收敛于0，导致V₂收敛速度较慢。

若ξ₁+ξ₂＜1，可得。可得

其中，f（t）在（-∞，+∞）区间振荡且幅值极大。

据式（3-52）可知，β随f（t）在-π/2与π/2间周期振荡。相比的情况，如β（t）做幅值为π/2的周期运动，可提升系统收敛速度。且参数ξ₁+ξ₂较小，则f（t）振荡幅值较大，β（t）幅值趋近π/2，提高收敛速度。因此，如V₂处于原点某较小邻域，较小参数ξ₁与ξ₂可提高系统收敛速度。

情况2：如V₂处于原点远端，状态β、Θ₃与Θ₆的动态特性可描述为

因V₂处于原点远端，不失一般性，考虑情况V₂＞1。综上所述，可知增大V₃可提高系统收敛速度。显然，由于V₂＞1，增大ξ₁+ξ₂则增大。因此如V₂处于原点远端（V₂＞1），较大参数ξ₁与ξ₂可提高系统收敛速度。分数幂控制律可通过调整ξ₁与ξ₂数值，提高系统收敛速度。若V₂＞1，选择较大参数ξ₁与ξ₂，若V₂＜1，选择较小参数ξ₁与ξ₂。因此，可同时提高情况1与情况2条件下系统收敛速度。因此控制律式（3-33）可保证系统全局收敛速度。