2.1 拉普拉斯变换的性质

接下来，我们回顾拉普拉斯变换的一些可以简化计算的性质。第一个性质是对拉普拉斯变量s的微分。

性质1

设

L{f（t）}=F（s）对于Re{s}>σ

那么

证明

所以

作为这个性质的一个例子，我们展示如何获得任意n的tn/n！的拉普拉斯变换。

例5

在前面的例子中已有

因此

我们对

两边的s进行微分，有

或者

类似地，对于任意的n=0，1，2，…，都有

例6

我们在之前的例子中可知

根据式（2.8）我们可以得到

性质2 L{eαtf（t）}=F（s-α）

令

L{f（t）}=F（s）对于Re{s}>σ

则

证明

例7 f（t）=cos（ωt）

已知

可得

性质3

令

L{f（t）}=F（s）对于Re{s}>σ

则

证明 根据拉普拉斯变换的定义可得

接下来用分部积分法，令

u=e-st，dv=f′（t）dt

并且

du=-se-stdt，v=f（t）

于是

对于Re{s}>σ，存在f（t）的拉普拉斯变换，使对于Re{s}>σ成立[1]。因此最后一个方程变为

例8 f（t）=cos（ωt）

f（t）=cos（ωt）和它的导数分别为

f（t）=cos（ωt）

f′（t）=-ωsin（ωt）

对于Re{s}>0，f（t）和f′（t）的拉普拉斯变换都存在。于是利用

L{f′（t）}=sL{f（t）}- f（0）

我们可以得到

或者，经过整理可以得到

例9 解微分方程 考虑一阶微分方程

其中，输入u_s是阶跃输入，并且

X（s）≜L{x（t）}

我们有

并且

对微分方程两边同时做拉普拉斯变换，可得到

继而

将X（s）提到公式左侧，可以得到

化简得

为了解出x（t），我们需要计算

第二个方程后面是部分分式展开，这涉及下一节的内容。