1.3　点、直线、面的投影

1.3.1　点的投影

（1）点的三面投影

如图1-13所示，三面投影体系内有一点A，将它分别向三个面投射，即得到A点的三面投影。用前面所讲的方法展开后便得到A点的三面投影图。空间点用大写字母A、B、C标记，在H面的投影称为水平投影，记为a；在V面的投影称为正面投影，记为a'；在W面的投影称为侧面投影，记为a″。

如果把三投影面体系看作直角坐标系，则投影面、投影轴、原点O分别就是坐标面、坐标轴、坐标原点。点到各投影面的距离就是相应的坐标值，如图1-14（a）所示。

点A的位置可由其坐标（xA，yA，zA）唯一地确定。其投影的坐标分别为：水平投影a（xA，yA，0）；正面投影a'（xA，0，zA）；侧面投影a″（0，yA，zA）。

（2）点的三面投影规律

如图1-14（b）所示，投影线Aa、Aa'为一对相交直线，它们构成的平面Aaaxa'分别与H、V面垂直，且aax⊥OX，a'ax⊥OX，当a随着H面转到与V面展开成一个平面时，它们的垂直关系不变。因此，投影图上a、ax，a'三点在一条直线上且垂直于同一轴OX。同理可证，点A的正面投影与侧面投影连线与OZ轴垂直，点A的水平投影到OX轴的距离和侧面投影到OZ轴的距离均反映该点的Y坐标。这就得出点的三面投影规律，如图1-14（c）所示。

①点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a'a⊥OX。

②点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a'a″⊥OZ。

③点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离都等于该点到V面的距离，即aax=a″az=Aa'。

因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。反之，已知一点的两面投影，也就等于已知该点的三个坐标，即可利用点的投影规律求出该点的第三面投影。

（3）两点的相对位置和重影点

两点的投影不仅反映了点对投影面的位置，也反映了它们之间前后、左右、上下的相对位置。如图1-15所示，XA>XB，A点在B点左边；YA<YB，B点在A点前面；ZB>ZA，B点在A点上方。总之，我们可以利用两点的坐标值的大小，判断出两点的左右、前后、上下等位置关系。

（4）重影点及可见性

如图1-16（a）所示，C点和D点在同一条V面的投影线上，故它们的正面投影重合于一点c'（d'）（括号内的标记表示不可见的投影点），则称C、D为V面的重影点。同理，位于同一条H面的投影射线上的A点和B点称为对H面的重影点；位于同一条W面的投影射线上的点称为对W面的重影点。重影点必有两对同名坐标值相等，需由第三个坐标值判断其可见性。如果两点重影，就有一点投影遮挡另一点投影，存在投影点的可见性。由图1-16（a），可以看到对于V面的投影C点遮挡D点，C点在D点之前，D点的正面投影为不可见。对于H面的投影A点遮挡B点，A点在B点之上，B点的水平投影为不可见。根据点的位置，上遮下、左遮右、前遮后，即坐标值大的遮坐标值小的，A、B、C、D点的投影如图1-16（b）所示。

1.3.2　直线的投影

（1）直线的投影

直线的投影可以用直线上两个点的投影来确定。只要作出直线上两个点的三面投影，然后连接这两点的同面投影，即为直线的三面投影，如图1-17所示。

（2）各种位置直线的投影

直线相对投影面的位置有垂直、平行、倾斜3种，如图1-18所示。前两种为特殊位置直线，后一种为一般位置直线。

①投影面的垂直线。垂直于某一投影面（平行其余两个投影面的直线）。

②投影面的平行线。平行于某一投影面（倾斜其余两个投影面的直线）。

③一般位置的直线。与三个投影面都倾斜的直线。

（3）直线上的点

直线上任一点的投影必在该直线的同面投影上，且符合点的投影特性。如图1-19所示，点K在直线AB上，则点K的三面投影k、k'、k″必在直线ab、a'b'、a″b″上，且k、k'、k″的三面投影符合点的投影规律。

（4）两直线的相对位置

两直线的相对位置有平行、相交、交叉三种情况，前两种统称共面直线，交叉直线既不平行，也不相交，不在同一平面上，称异面直线。

1）两直线平行

平行的两直线如图1-20所示，如果空间两直线AB∥CD，按正投影法，过AB、CD分别作V面、H面、W面的投射线，形成其中的两个投影面DCc'd'与ABb'a'必定平行，且它们与V面的交线a'b'和c'd'必定平行。同理，ab∥cd，a″b″∥c″d″。

2）两直线相交

两直线相交必有一个交点，即公共点。由此可知，相交两直线的投影特性：两直线在空间相交，则它们的同面投影也相交，而且交点的投影符合点的投影规律，两直线相交如图1-21所示。

3）两直线交叉

既不平行又不相交的两条直线称为两交叉直线。它们的投影既不符合平行两直线的投影规律，也不符合相交两直线的投影规律。如图1-22所示的两直线为两交叉直线，虽然它们的同面投影也相交了，但“交点”不符合一个点的投影特性。

因此，在交叉两直线的投影图中，对于同面投影相重合的两点，需要判断该投影面重影点的可见性。一般遵循以下原则。

①判断H投影面重影点的可见性，必须作出它们的V面投影，从上向下看，上面一点为可见，下面一点为不可见。

②判断V投影面重影点的可见性，必须作出它们的H面投影，从前向后看，前面点为可见，后面点为不可见。

（5）直角的投影

角度的投影一般不等于原角，只有当两边同时为某投影面的平行线时，它在该面的投影才等于原角。在直角的投影中，只要直角有一直角边平行于某一投影面，则它在该面的投影还是直角，这作为作图依据，如图1-23所示。在投影图上主要是解决垂直问题，以及求点到直线的距离、两平行线间距离等问题。

1.3.3　平面的投影

（1）平面的表示法

1）用几何要素表示平面

由几何学可知：不在同一直线上的三点可以确定一个平面。从这个公理出发，在投影图上，可以用下列任何一组几何要素的投影表示平面。如图1-24所示：（a）不在同一直线上的3点；（b）一直线和不在该直线上的一点；（c）相交两直线；（d）平行两直线；（e）平面图形。以上表示了平面的五组几何要素既互相联系，又可互相转换。

2）用迹线表示平面

空间平面与投影面的交线称为平面的迹线，用迹线表示的平面叫做迹线平面。平面的迹线是投影图中用以表示平面空间位置的另一种方法。

如图1-25所示，空间平面P与V面的交线称为平面P的正面迹线，用PV表示；平面P与H面的交线称为平面P的水平迹线，用PH表示；平面P与W面的交线称为侧面迹线，用PW表示。平面P与投影轴线的交点，就是两条迹线的交点，称为迹线集合点，分别用PX、PY、PZ表示。

对特殊位置迹线平面，用两段短的粗实线表示有积聚性的迹线的位置，中间以细实线相连，并在两端标以符号，可不画其无积聚性的迹线。

（2）各种位置平面的投影特性

空间平面对于三个投影面有三类不同的位置，即：一般位置的平面、投影面的垂直面、投影面的平行面。后两类又称为特殊位置平面，投射时平面原有的几何性质会因位置不同而变化。

1）一般位置的平面

与三个投影面都倾斜的平面为一般位置的平面，如图1-26所示。△ABC倾斜于V、H、W面，是一般位置的平面。它的三面投影都不反映该平面对投影面的真实倾角，三个投影是和空间图形相类似的图形，称类似形，不反映实形。一般位置的平面的投影特性：三投影均为类似形（边数相等），不反映实形，也不反映该平面对投影面的倾角。

2）投影面垂直面

只垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面称为投影面垂直面，如图1-27所示。其中，垂直于H面时叫做铅垂面，垂直于V面时叫做正垂面，垂直于W面时叫做侧垂面。

3）投影面平行面

只平行于某一投影面，而垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面，如图1-28所示。其中，平行于H面时叫做水平面，平行于V面时叫做正平面，平行于W面时叫做侧平面。

（3）平面内的点和直线

1）点和直线在平面内的几何条件

若点在平面内的任一条直线上，则点属于该平面。若一直线通过平面内的两个点，或一直线通过这个平面内的一个点，并且平行于平面内的另一直线，则直线属于该平面。因此在平面内找点时，一般要在含该点的平面内作辅助直线，然后在所作直线上求点。

2）平面上的投影面平行线

凡在平面上且平行于某一投影面的直线称平面上的投影面平行线，它的投影应符合投影面平行线的投影特性和满足平面上直线的投影条件。