1.4　基本体的投影

一般机件的形体都可以看成是由柱、锥、台、球、环等基本几何体（简称基本体）按一定的方式组成。

由于表面性质的不同，基本体通常分为平面立体和曲面立体。如图1-29所示，立体的投影表面都是由平面所构成的形体称平面立体，平面立体主要分为棱柱和棱锥两种。表面由曲面或曲面与平面围成的形体称为曲面立体，机件中常见的曲面立体是回转体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。

1.4.1　平面立体及其表面上的点

平面立体由若干个多边形围成，因此绘制平面立体的投影，可归结为绘制这些平面立体的棱线和所有顶点的投影。

（1）棱柱

1）投影

如图1-30（a）所示是一个正六棱柱的三面投影图，该正六棱柱的顶面和底面为正六边形，且为水平面，它们的水平投影重合且反映实形，正面和侧面投影积聚为一直线。六棱柱有六个侧面，前后两个为正平面，它们的正面投影重合且反映实形，水平投影和侧面投影积聚为一直线。其余四个侧面为铅垂面，水平投影积聚为一直线，正面和侧面投影均为类似形。

六条棱线AD、BC等为铅垂线，它们的水平投影积聚为一点，正面投影和侧面投影均反映实长。顶面的边BE、PQ为侧垂线，侧面投影积聚为一点，水平投影和正面投影均反映实长。顶面的AB、QF、EF、AP为水平线，水平投影反映实长，正面投影和侧面投影都小于实长，底面的各边可作类似分析。

2）表面上的点

如图1-30（b）所示，已知棱柱表面上M点的正面投影、N点的水平投影，作出M点的水平投影和侧面投影、N点的正面投影和侧面投影。

分析：首先要确定该点所在的平面，并分析该平面的投影特性，若平面具有积聚性，那么它表面上的点的投影必落在这个平面积聚性的投影上。判别可见性时，若该平面处于可见位置，则该面上点的投影也是可见的，反之为不可见。在平面积聚投影上的点的投影可以不判别其可见性。

由于点M所属棱面ABCD为铅垂面，因此M点的水平投影m必在该棱面在水平面上的积聚性投影abcd上，再根据m'和m求出侧面投影m″，由于ABCD面的侧面投影可见，故m″可见。N点的投影也可作类似分析。

（2）棱锥

1）投影

图1-31（a）表示正三棱锥的三面投影的立体图。其底面△ABC为水平面，它的水平投影反映实形，在另外两个面的投影积聚为一直线。后棱面△SAC为侧垂面，在侧面投影积聚为一条直线，另外两面的投影为类似形。左右两个棱面△SAB和△SBC为一般位置平面，它们的三面投影均为类似形。

如图1-31（b）所示，画棱锥三视图时，一般先画底面的各个投影，再定锥顶S的各个投影，最后连接各棱线即可完成其三视图。

2）表面上的点

凡属于特殊位置表面上的点，都可利用投影的积聚性直接求得，而属于一般位置表面上的点，可通过在该面上作辅助线的方法求得。如图1-31（b）所示，已知三棱锥表面上点M的正面投影m'，点N的水平投影n，求作M、N两点的其余投影。

由于M点在棱面SAB上，SAB是一般位置平面，实际上也就是已知三角形上一点的正面投影，求其他两面投影。

方法一：过锥点S和M作一直线并延长交底边a'b'于1'，由1'在水平投影ab上作出1，连s1；从m'作投影连线在s1上得出m，再由m和m'作出侧面投影m″。

方法二：过点M作底边AB的平行线。过m'作2'm'平行于a'b'，由2'在s'a'上作出2，过2作底边ab的平行线，再由m'作投影连线交23线作出m，最后由m和m'作出侧面投影m″。

由于M点所属棱面SAB的水平投影和侧面投影是可见的，所以m、m'也是可见的。N点所在的后棱面SAC是侧垂面，在侧垂面投影积聚为一直线，可利用该平面在侧面上的积聚投影求得n″，再由n和n″求得n'，由于N点所属棱面△SAC的正面投影不可见，所以n'为不可见，用（n'）表示。

1.4.2　曲面立体及其表面上的点

机件中常见的曲面体是回转体，如圆柱、圆锥、圆球和圆环等。绘制回转体的投影是把回转体表面或回转面和平面表面的投影表示出来，并判别其可见性。

（1）圆柱

1）投影

圆柱是由圆柱面、顶面、底面围成。圆柱面可看成是由一条直母线围绕与它平行的轴线回转而成。如图1-32（a）所示，当圆柱的轴线为铅垂线时，圆柱面上所有素线都是铅垂线，因此圆柱面的水平投影积聚为一个圆。圆柱面上点和线的水平投影都积聚在这个圆上；圆柱面的正面投影和侧面投影分别是圆柱面上最左、最右素线和最前、最后素线的投影。它们分别是前半圆柱面、后半圆柱面的分界线，即是正面投影的转向轮廓线；左半圆柱面、右半圆柱面的分界线，即侧面投影的转向轮廓线。圆柱的顶面、底面为水平面，水平投影反映实形，就是这个圆，圆心就是轴线的水平投影，顶面、底面的正面投影和侧面投影都积聚成直线。图1-32（b）是这个圆柱的投影图。

2）表面上的点

已知圆柱表面上的一点K在正面上的投影为k'，现作它的其余二投影。由于圆柱面上的水平投影有积聚性，因此点K的水平投影应在圆周上，因为k'可见，所以点K在前半个圆柱上，由此得到K的水平投影k，然后根据k'、k便可求得点K的侧面投影k″，因点K在右半圆柱上，k″不可见，应加括号表示不可见性，如图1-33所示。

（2）圆锥

1）投影

圆锥面可以看成是一条直母线绕与它相交的轴线旋转而成的。圆锥是由圆锥面和底面围成，如图1-34所示，该圆锥体的轴线为铅垂线，底面为水平面，底面的正面投影、侧面投影积聚为直线，水平投影为反映实形的圆，这个圆也是圆锥面的水平投影。水平圆的对称中心线的交点就是圆锥轴线的水平投影，也是锥顶的水平投影。

圆锥面的正面投影和侧面投影都是等腰三角形，正面投影的两腰是圆锥最左和最右两条素线的投影，是可见的前半圆锥面和不可见的后半圆锥面的分界线，即正面投影的转向轮廓素线，它们是正平线，反映锥面素线的实长。这两条线的侧面投影与锥轴的侧面投影重合，水平投影与圆的横向中心线重合，省略不画。

侧面投影的等腰三角形两腰是圆锥面上最前和最后素线的投影，它们是侧面投影可见的左半圆锥面和不可见的右半圆锥面的分界线，即侧面投影的转向轮廓线。它的正面投影与锥轴的正面投影重合，它们的水平投影与圆的竖向中心线重合，也省略不画。可以看出圆锥面的三面投影都不具备积聚性。

2）表面上的点

因为圆锥面的三个投影都不具有积聚性，所以就不能像圆柱那样利用积聚投影直接求出一个投影，需借助于圆锥面上的辅助线。做辅助线的方法有两种，如图1-35所示。