五、测量逻辑概率

至此我们已经谈到了概率的逻辑观点的基础知识，并确定了在某些具体环境下逻辑概率的值（例如当给出的是衍推关系的时候）。接下来的问题是，当给出的是部分衍推关系时，我们该如何计算逻辑概率的值。例如，回想上文涉及玛丽的场景。如果有的话，P（p, q）的精确值应该是什么呢？

事实上，回答这个问题是非常困难的。因此，我们还是讨论一下怎样更一般性地处理测量问题。我们将谈到本章的男主人公，也就是凯恩斯给出的说明。他的这个说明已经被证明是一种最有影响力的说明，而且也是经过深思熟虑后给出的最具系统性说明。

凯恩斯的说明首先是给出了如下提议：我们能够基于直觉或者洞察而认识某些概率关系。在说这番话的时候，他心里的想法好像是，对于把握命题之间的关系来说，我们具有某种超感觉的能力或者官能。这乍听起来有点神秘。那就让我们通过一段简短的对话进一步研究一下吧。

学生乙：我并不认为我拥有这种能力！我深信我的全部知识都来自经验……

学生甲：但可以肯定凯恩斯不是非要否认这一点吗？

达瑞：你能解释一下为什么你会这样认为吗？

学生甲：首先，说我们能够把握命题之间的关系，并不是说我们能够在不诉诸经验的情况下理解命题——也就是知道它们是什么意思，之所以这样说，是因为没有更好的表达。这里以“天空是红色的”为例就很恰当。不诉诸经验，我们根本就无法理解它。

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学生乙：很好，这好像是对的。这么说，在一定程度上，凯恩斯可能是一个经验主义者……

达瑞：至少在这个程度上，他就是一个经验主义者。

学生甲：为什么不再多说几句呢？让我们考虑一下非逻辑知识的基础。按照这种解释，洞察也许不会让我们知道像“刚刚我能看到一个红色的东西”这样一个相当基本的事实。这可能是一件经验上的事情。

达瑞：正确。因此，正如我相信凯恩斯所认为的那样，有人可能认为，我们是从一个你称之为“基本事实”，或者我称其为“观察陈述”的经验基础开始的，然后通过我们的理性洞察努力向前，直到更高级的知识。这就是一种把握理论和实际的“观察陈述”之间、理论与可能的“观察陈述”之间，甚至不同的（可能的或者现实的）“观察陈述”之间的关系的能力。

学生乙：你能举个例子吗？

学生甲：可以。一旦经验帮助我们领会到了“白色的”和“天鹅”的意思，我们就可以认识到，“存在一只非白色的天鹅”能够证伪 “所有天鹅都是白色的”这个理论。但只有经验才能告诉我们“存在一只非白色的天鹅”是否为真，并因此告诉我们“所有天鹅都是白色的”是否为真。

达瑞：确实如此。这是一个相对来说没有争议的例子，因为其中包含衍推关系。凯恩斯只是认为，存在着包含部分衍推的类似情况。

事实上，凯恩斯写道：“假如一些命题的真，以及一些论证的有效性，不能被直接认识到，我们就可能不会取得任何进步。”（Keynes 1921：53，f.1）但他并不认为所有的概率关系都能被直接认识到。正好相反，他认为，我们常常需要去计算概率关系，而且可以使用特定的原则进行计算，也就是无差别原则（Principle of Indifference）。

按照凯恩斯的观点，这些判断对于正常的衍推关系同样是成立的。例如，我们可以很容易地发现，从“蒂姆是一只黑色的兔子”可以衍推出“蒂姆是一只兔子”（或者更加形式化地表达为p&q衍推出q）。但是，接着前述段落的引文，我们可以搞清楚其他这样的关系，方法是通过使用“逻辑证明的方法……这种方法能够让我们知道命题是真的，而这些完全超出了我们的直接洞察所能达到的范围”。例如，我们可能需要使用一个真值表来判定在更复杂的情况下是否可以给出一种衍推关系。

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这里我可以给出一个例子。请思考“以下不是真的：p当且仅当q”是否衍推“或者p或者q”。表3.1能让我们对此获得确定的答案。［如果你不熟悉逻辑术语，那么，这里有一个解释：“⊕”在“或者……或者……”的一种不相容的意义上代表“或者”，其中“两者都……”的意思被排除了；“↔”代表“当且仅当”。于是，“p⊕q”的意思是“或者p或者q（但并非既p又q）”；“┓（p↔q）”的意思是“以下不为真：p当且仅当q”。］每一行——水平走向的行——代表所有陈述的一个可能的真值集。这四行合在一起穷尽了所有的可能性。我们来考虑第一行，它表明，当p为真（T）且q为真（T）时，我们关心的两个命题——p⊕q和┓（p↔q）——都为假（F）。然后我们再来考察p为假（F）且q为真（T）时的情境，如此等等。

从这个表我们可以看出，只要┓（p↔q）为真，p⊕q就为真，反之亦然。（在第二行和第三行存在两种可能性，在这两行这两个都是真的。在其他两行这两个都不是真的。）因此，事实上，这两个命题相互衍推。不仅如此，我们还可以看到，当其中一个为假时，另一个也为假。（事实上，它们每一栏的真值都是相同的。这表明，在所有可能情境当中它们都具有相同的值。）因此，它们之间具有一种更强的关系；它们是逻辑上等值的，或者，它们说出了同样的事情。但是，如果没有逻辑学方面的训练，这些就远不是那么明显的。建构比如上所示更复杂的关系并不困难，如果不使用真值表或者其他某种证明方法，那么这些更加复杂的关系就算是逻辑学专家也无法认识到。下面就是这个例子的用处：如果不完成一个证明，你就不可能识别出其中的衍推关系。因此，如果你发现细节方面难以理解，也不要发愁，那只是因为你还没学过逻辑学。

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现在看来，我们不能使用上面这样的真值表去判定两个陈述之间成立的是哪种类型的部分衍推（如果有的话）。更准确地说，我们需要前面提到的那个特定的原则。凯恩斯对它描述如下：

无差别原则断言的是，如果没有已知的理由去断定几个候选者中的一个主题而不是另一个，那么，相对于这样的知识，就要断言这些候选者中的任意一个都具有相等的概率。因此，如果没有正面的根据去赋予不同的概率，那就要给每一个候选者一个相等的概率。（Keynes 1921： 42）

设想我正准备在1到10之间选择一个整数。我选择5的概率是多少呢？在这里，你没有理由认为我会选择某个特定的数字，而不是其他数字。因此，根据无差别原则，你应该给每种可能的结果赋予相等的概率。因为总共有十种可能的结果，所以每一种的概率都将是十分之一。实际上，这比做一个标准的逻辑证明要容易得多。或者说，初看上去就是这样。（这个思路在直觉上也是合理的。我早就听说过聪明而且受过很高教育的人们，例如我的学术同行说出“我有四分之一的机会得到这份工作”这样的话，因为他已经进入了求职面试最终的四人候选名单。但事情真的就是这样吗？）